Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Большие круги, указывающие кратчайшие пути, станут большими кругами на сферической модели, поэтому геодезические линии также останутся неизменными. Сохранятся также углы и направления. Как видим, преобразование, которое заключается в уменьшении размеров Земли, не изменяет метрические параметры, масштаб во всех точках сферической модели остается постоянным.

Математически это можно выразить следующим образом. Будем считать, что Земля и ее сферическая модель имеют общий центр, который мы примем за начало нашего трехмерного пространства . Следовательно, наше математическое преобразование будет отображением Земли (S₁), которая является сферой радиуса 6371 км, на сферическую модель (S₂) радиусом 25 см φ: S₁ —> S₂, определяемым как φ(х) = е·х. На языке геометрии это отображение называется гомотетией (при е > 1 исходные фигуры увеличиваются, при е < 1, как в нашем случае, — уменьшаются). Это простое преобразование, которое однозначно определяется свойством пропорционального уменьшения размеров фигур.

Теперь, когда вопрос об изменении размеров решен, осталось решить проблему изменения формы. Как вы увидите, она намного сложнее, и именно здесь в действительности скрывается святой Грааль картографии — идеальная карта. Чтобы решить эту проблему, нужно изучить математические проекции сферы на плоскость и рассмотреть, как они изменяют различные метрические свойства. Это центральная тема математической картографии и настоящей главы. Как мы упоминали в предисловии, существует множество математических преобразований сферы в плоскость и, как следствие, множество разных проекций, на основе которых можно составить столь же большое число самых разных карт. Далее для простоты мы будем понимать картографические проекции как отображения сферы единичного радиуса на плоскость  Кроме того, с математической точки зрения проекции должны обладать некоторыми естественными свойствами: в частности, они должны быть непрерывными и дифференцируемыми. Это означает, что сфера должна проецироваться на плоскость разумным образом, то есть без складок, разрезов и наложений.

Как мы уже отмечали, важно знать, как изменяются основные метрические свойства при использовании тех или иных проекций. Поэтому начнем наши поиски точной карты земной сферы с того, что докажем следующее утверждение: в проекции, сохраняющей расстояния между точками (такие отображения называются изометрическими), также сохраняются кратчайшие пути (геодезические линии), углы и площади. Кроме того, сохранение расстояний эквивалентно сохранению длин кривых. Предыдущие утверждения — не более чем частный случай анализа дифференцируемых отображений между регулярными поверхностями применительно к их метрическим свойствам (доказательство этого утверждения методами дифференциальной геометрии можно найти в любом классическом учебнике по этой дисциплине).

Проекция, сохраняющая расстояния, сохраняет и кратчайшие пути

Далее мы докажем, что любая проекция сферы на плоскость, сохраняющая расстояния (это означает, что расстояние между двумя произвольными точками сферы будет равно расстоянию между отображениями этих точек на плоскости), также сохраняет кратчайшие пути, иными словами, отображением больших кругов сферы будут прямые на плоскости.

Докажем это утверждение методом от противного, который заключается в том, что мы считаем утверждение, которое хотим доказать, ложным, и путем логических рассуждений приходим к противоречию, затрагивающему исходную гипотезу. Следовательно, утверждение, которое мы хотим доказать, будет истинным. В нашем случае предположим, что проекцией больших кругов не всегда будет прямая.

Если бы рассматриваемая проекция в самом деле не сохраняла кратчайшие пути, то существовали бы две точки сферы А и В и точка С, лежащая на кратчайшем пути между ними (то есть на большом круге, проходящем через А и В), такая, что ее отображение на плоскость С' не лежало бы на кратчайшем пути (прямой), соединяющем отображения точек А и В — А' и В' соответственно.

Имеем: так как рассматриваемая проекция сохраняет расстояния, то расстояние между отображениями А' и В' равно расстоянию между исходными точками А и В:

d(A, B) = d(A', B').

Так как точка С лежит на кратчайшем пути между А и В, расстояние между этими точками будет равно сумме расстояний между А и С и между С и В:

d(A, B) = d(A, C) + d(C, B).

Тем не менее точка С не лежит на прямой, соединяющей А' и В', следовательно:

d(A', B') < d(A', C') + d(C', B').

Но так как рассматриваемая проекция сохраняет расстояния, то последняя сумма будет равна d(A, С) + d(С, В). Имеем противоречие: мы доказали, что

d(A, B) < d(A, B).

Это очевидно ложное утверждение означает, что проекция не сохраняет кратчайшие пути.

Сохранение расстояний в проекции означает сохранение длин кривых