Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

СКОЛЬКО КРАСОК НУЖНО, ЧТОБЫ РАСКРАСИТЬ КАРТУ?

Когда мы были детьми, то наверняка рисовали карты, которые требовалось закрасить так, чтобы области одного цвета не имели общих границ. Возможно, кто-то даже смог увидеть, что для раскраски такой карты достаточно четырех красок. Именно эта мысль в середине XIX века пришла в голову брату одного из студентов Огастеса де Моргана — Фрэнсису Гутри (позднее он стал математиком и ботаником), когда он рассматривал карту графств Англии. Де Морган рассказал об этой гипотезе своим коллегам-математикам.

В 1879 году адвокат сэр Альфред Брей Кемпе, ученик математика Артура Кэли, предложил доказательство гипотезы о четырех красках. К сожалению, его доказательство оказалось ошибочным, хотя содержало интересные и глубокие идеи. Лишь в 1976 году Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен опубликовали окончательное доказательство теоремы о четырех красках. В нем исходная теорема была выражена на языке теории графов. Аппель и Хакен пошли от противного и предположили, что исходная гипотеза ложна и что существуют карты (графы), которые нельзя раскрасить четырьмя красками, затем они показали, что в таких картах существуют определенные «неизбежные конфигурации» и, наконец, что все подобные конфигурации на самом деле можно раскрасить четырьмя красками. Объем вычислений, которые потребовалось провести на последнем этапе доказательства, был столь велик, что пришлось прибегнуть к помощи компьютера, и это вызвало широкую полемику в математическом сообществе. Можно ли считать доказательство корректным, если оно включает вычисления, выполненные на компьютере, при этом предполагается, что любое доказательство должно быть убедительным, формализуемым и, что самое главное, проверяемым?

Карта мира, раскрашенная четырьмя красками: красной, синей, зеленой и желтой (на иллюстрации они представлены различными оттенками серого). Этих четырех красок достаточно, чтобы никакие две области, имеющие общую границу, не были окрашены в один цвет.

* * *

Читатель, знакомый с дифференциальной геометрией или анализом бесконечно малых, возможно, заметил, что в более строгом варианте представленного выше доказательства не обойтись без методов математического анализа.

Утверждение, обратное тому, что мы доказали, также будет верным: проекции сферы на плоскость, сохраняющие длины кривых, сохраняют и расстояния между точками. Причина в том, что расстояние между двумя точками — это длина кратчайшей кривой, их соединяющей.

Проекция, сохраняющая расстояния, сохраняет и углы

Читатель, возможно, понимает, что означает сохранение величин углов между двумя произвольными направлениями. Но чтобы лучше понять, как отображения сферы на плоскость изменяют углы, нужно подробнее рассмотреть используемые понятия, хотя при этом придется применить некоторые термины.