Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Рассмотрим произвольную точку сферы р, два направления, проходящие через эту точку, то есть два касательных вектора v₁ и v₂ а также угол θ между ними. Чтобы рассчитать, как изменятся касательные векторы и, следовательно, величина угла, будем действовать следующим образом. Рассмотрим две кривые на поверхности сферы, α₁: (— ε, ε) —> S² и α₂: (— ε, ε) —> S², которые проходят через точку р. Их касательными векторами в этой точке будут v₁ и v₂ (если говорить математическим языком, то α'₁(0) = v₁, α'₂(0) = v₂ геометрический смысл этих равенств представлен на следующей иллюстрации). Далее рассмотрим плоские кривые, которые будут отображениями этих кривых: , а также касательные векторы этих кривых в точке пересечения  то есть 

Эти векторы будут отображениями векторов v₁ и v₂ полученными проекцией φ. Если угол между w₁ и w₂ вновь будет равен θ, то проекция φ будет сохранять углы между векторами v₁ и v₂ (а также между кривыми а₁ и а₂соответственно). Интересный момент: векторы w₁ и w₂ которые являются отображениями векторов v₁ и v₂ полученными проекцией φ, не зависят от исходных кривых а₁ и а₂, следовательно, они также не зависят от угла между этими кривыми. Это позволяет, например, выбрать в качестве кривых а₁ и а₂дуги больших кругов, проходящие через точку р, и касательные векторы v₁ и v₂ которые определяются единственным образом.

Следовательно, интуитивно понятно, что изометрические преобразования сохраняют величины углов. Если для двух больших кругов сферы, которые пересекаются в точке, мы рассмотрим окружность достаточно малого радиуса r с центром в этой точке (иными словами, эта окружность будет образована точками сферы, удаленными от центра окружности на некоторое расстояние r), то угол θ между двумя большими кругами (равный углу между их касательными векторами) будет приблизительно равен отношению длины дуги окружности, определяемой двумя большими кругами, и ее радиусом, умноженным на 2π.

Далее, если мы рассмотрим отображение, полученное проекцией, сохраняющей расстояния, то увидим, что проекциями больших кругов будут прямые (так как изометрические проекции сохраняют геодезические линии), а окружность радиуса r на сфере перейдет в окружность радиуса r, центр которой будет располагаться в точке пересечения полученных прямых на плоскости. Следовательно, так как проекция сохраняет расстояния, а формула, приведенная на предыдущей иллюстрации, выполняется на плоскости, угол между большими кругами также будет сохраняться.

Отображения, сохраняющие величины углов, называются равноугольными, конформными или изогональными. Последний термин напрямую указывает на то, что проекция сохраняет величины углов неизменными, а термин «конформный» означает «имеющий одинаковую форму» или «имеющий правильную форму». Таким образом, проекции, сохраняющие углы, сохраняют и формы, однако лишь для достаточно малых областей, что можно увидеть на картах в проекции Меркатора, о которых упоминалось в предисловии. На них по мере приближения к полюсам искажения становятся очень заметными.

Проекция, сохраняющая расстояния, сохраняет и площади

Это утверждение основано на том, что любую ограниченную область на поверхности сферы можно покрыть конечным числом областей, границами которых будут меридианы и параллели. Эти области можно считать прямоугольными, а их число будет достаточно большим, следовательно, их размеры невелики. Площадь исходной области можно будет приближенно выразить как сумму площадей этих «прямоугольников» (их площадь будет равна произведению основания на высоту). Отображением этой области будет прямоугольник на плоскости, покрытый множеством прямоугольников. Так как рассматриваемая проекция сохраняет расстояния, площадь этого прямоугольника будет равна площади исходной области.

Площадь произвольной территории, например Китая, можно представить как сумму площадей «прямоугольных» областей, ограниченных меридианами и параллелями. Чем меньше будут эти области, тем точнее мы сможем вычислить площадь искомой территории.

Проекции, сохраняющие площади, называются равновеликими, или гомолографическими. Следовательно, мы доказали, что отображения сферы на плоскость, сохраняющие расстояния (или длины кривых), оставляют неизменными площади, геодезические линии и величины углов — все интересующие нас метрические параметры.

Учитывая вышесказанное, можно сделать вывод: чтобы построить точную карту мира, нужно найти математическую проекцию сферы на плоскость, которая была бы изометрической. Приступим же к поискам.

В поисках изометрической проекции