Том 3. Квантовая механика

что соответствует состоянию с m=-¹/₂. Заметьте, что мы берем только симметричные сочетания, у нас нет комбинаций, куда входят слагаемые со знаком минус. Они отвечали бы состояниям с таким же m, но с иным j. Это аналогично случаю спина 1, где (1/√2){|+->+|-+>} было состоянием |1,0>, а (1/√2){|+->-|-+>} было состоянием |0,0>. Наконец, мы имеем

(16.30)

Эта четверка состояний сведена в табл. 16.1.

Таблица 16.1. СВОДКА СОСТОЯНИЙ

Все, что нам теперь нужно сделать, это взять каждое состояние, повернуть его вокруг оси у и посмотреть, сколько новых состояний оно создаст — пользуясь известной нам матрицей поворота для частицы спина ¹/₂. Можно поступать так же, как мы это делали в случае спина 1 [см. гл. 10, § 6 (вып. 8)]. (Только алгебры будет побольше.) Мы будем строго следовать идеям гл. 10 (вып. 8), так что подробных объяснений давать не будем. Состояния в системе S будут обозначаться

и т. д.; T-системой будет считаться система, повернутая вокруг оси у системы S на угол θ. Состояния в T-системе будут обозначаться |³/₂, +³/₂, T>, |³/₂, +¹/₂, T> и т. д. Ясно, что |³/₂, +³/₂, T> это то же самое, что |+'+'+'> (штрихи всегда относятся к T-системе). Точно так же |³/₂, +¹/₂, T> будет равняться

и т. д. Каждое |+'>-состояние в T-системе получается как из |+>-, так и из |->-состояний в системе S с помощью матричных элементов из табл. 10.4 (вып. 8).

Если мы имеем тройку частиц со спином ¹/₂, то (10.47) надо заменить на

(16.31)

Пользуясь обозначениями табл. 10.4, получим вместо (10.48) уравнение

(16.32)

Это уже дает нам некоторые из наших матричных элементов <jT| iS>. Чтобы получить выражение для |³/₂, +¹/₂, S>, мы должны исходить из преобразования состояния с двумя плюсами и одним минусом. К примеру,

(16.33)

Добавляя два сходных выражения для |+—+> и |—++> и деля на √3, найдем

(16.34)

Продолжая этот процесс, мы найдем все элементы <jT|iS> матрицы преобразования. Они приведены в табл. 16.2. Первый столбец получается из (16.32), второй — из (16.34). Последние два столбца были вычислены таким же способом.

Теперь допустим, что T-система была повернута относительно S-системы на угол θ вокруг ее оси у. Тогда а, b, с и d равны [см. (10.54), вып. 8]: а=d=cosθ/2, с=-b=sinθ/2. Подставляя это в табл. 16.2, получаем формулы, похожие на вторую половину табл. 15.2, но на этот раз для системы со спином ³/₂.

Таблица 16.2. МАТРИЦА ПОВОРОТА ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ ³/₂

Коэффициенты а, b, с и d объясняются в табл. 10.4.

Рассуждения, которые мы только что провели, были обобщены на систему с произвольным спином j. Состояния |j, m> можно составить из 2j частиц со спином ¹/₂ у каждой. (Из них j+m будут в |+>-состоянии, а j-m будут в |->-состоянии.) Проводится суммирование по всем возможным способам, какими их можно сочетать, а затем состояния нормируются умножением на надлежащую постоянную. Если у вас есть способности к математике, то вы сможете доказать, что получается следующий результат[75]:

(16.35)

где k пробегает все те значения, при которых под знаком факториала получаются неотрицательные величины.

Это очень запутанная формула, но с ее помощью вы сможете проверить табл. 15.2 для j=1 и составить ваши собственные таблицы для больших j. Некоторые матричные элементы очень важны и получили особые наименования. Например, матричные элементы для m=m'=0 и целых j известны под названием полиномов Лежандра и обозначаются

(16.36)

Первые из них таковы:

(16.37)

(16.38)

(16.39)

(16.40)

§ 5. Измерение ядерного спина

Продемонстрируем теперь пример, где понадобятся только что описанные коэффициенты. Он связан с проделанными не так давно интересными опытами, которые вы теперь в состоянии будете понять. Некоторым физикам захотелось узнать спин одного из возбужденных состояний ядра Ne²⁰. Для этого они принялись бомбить углеродную мишень пучком ускоренных ионов углерода и породили нужное им возбужденное состояние Ne²⁰ (обозначаемое Ne^20*) в реакции

где α₁ — это α-частица, или Не⁴. Кое-какие из создаваемых таким образом возбужденных состояний Ne²⁰ неустойчивы и распадаются таким путем:

Значит, на опыте видны возникающие в реакции две α-частицы. Обозначим их α₁ и α₂; поскольку они вылетают с разными энергиями, их можно отличить друг от друга. Кроме того, выбирая α₁, имеющие нужную энергию, мы можем отобрать любые возбужденные состояния Ne²⁰.

Опыт ставился так, как показано на фиг. 16.9.

Фиг. 16.9. Размещение приборов в опыте по определению спина возбужденных состояний Ne²⁰.

Пучок ионов углерода с энергией 16 Мэв был направлен на углеродную пленку. Первая α-частица регистрировалась кремниевым детектором, настроенным на прием α-частиц с нужной энергией, движущихся вперед (по отношению к падающему пучку ионов С¹²). Вторая α-частица регистрировалась счетчиком α₂, поставленным под углом θ к α₁. Скорость счета сигналов совпадений от α₁ и α₂ измерялась как функция угла θ.