Том 3. Квантовая механика

Мы хотим обобщить этот результат на состояния, составленные из двух объектов а и b с произвольными спинами j_а и j_b. Начнем с разбора примера, когда j_а=¹/₂ и j_b=1, а именно с атома дейтерия, в котором частица а — это электрон е, а частица b — ядро, т. е. дейтрон d. Тогда j_a=j_e=¹/₂. Дейтрон образован из одного протона и одного нейтрона в состоянии с полным спином 1, так что j_b=j_d=1. Мы хотим рассмотреть сверхтонкие состояния дейтерия, как мы сделали это для водорода. Поскольку у дейтрона может быть три состояния, m_b=m_d=+1, 0, -1, а у электрона — два, m_а=m_е=+¹/₂, -¹/₂, то всего имеется шесть возможных состояний, а именно (используется обозначение |е, m_e; d, m_d>):

(16.42)

Обратите внимание, что мы разверстали состояния согласно значениям суммы m_e и m_d в порядке ее убывания.

Спросим теперь: что случится с этими состояниями, если спроецировать их в другую систему координат? Если эту новую систему просто повернуть вокруг оси z на угол φ, то состояние |е, m_e; d, m_d> умножается на

(16.43)

(Состояние можно считать произведением |е, m_е>|d, m_d>, и каждый вектор состояния независимо привнесет свой собственный экспоненциальный множитель.) Множитель (16.43) имеет форму е^iMφ, поэтому z-компонента момента количества движения у состояния |е, m_е; d, m_d> окажется равной

(16.44)

Иначе говоря, z-компонента полного момента количества движения есть сумма z-компонент моментов количества движения отдельных частей.

Значит, в перечне состояний (16.42) верхнее состояние имеет М=+³/₂, два следующих М=+¹/₂, затем два М=-¹/₂ и последнее состояние М=-³/₂. Мы сразу же видим, что одной из возможностей для спина J объединенного состояния (для полного момента количества движения) должно быть ³/₂, это потребует четырех состояний с М=+³/₂, +¹/₂, -¹/₂ и -³/₂. На М=+³/₂ есть только один кандидат, и мы сразу видим, что

(16.45)

Но что является состоянием |J=³/₂, М=+¹/₂>? Кандидатов здесь два, они стоят во второй строчке (16.42), и всякая их линейная комбинация тоже даст М=+¹/₂. Значит, в общем случае можно ожидать, что

(16.46)

где α и β — два числа. Их именуют коэффициенты Клебша—Гордона. Найти их и будет нашей очередной задачей.

И мы их легко найдем, если просто вспомним, что дейтрон состоит из нейтрона и протона, и в явном виде распишем состояния дейтрона, пользуясь правилами табл. 16.3. Если это проделать, то перечисленные в (16.42) состояния будут выглядеть так, как показано в табл. 16.4.

Таблица 16.4. СОСТОЯНИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ АТОМА ДЕЙТЕРИЯ

Пользуясь состояниями из этой таблицы, мы хотим образовать четверку состояний с J=³/₂. Но ответ нам уже известен, потому что в табл. 16.1 уже стоят состояния со спином ³/₂, образованные из трех частиц со спином ¹/₂. Первое состояние в табл. 16.1 имеет |J=³/₂, М=+³/₂>, это |+++>, а в наших нынешних обозначениях это |e, +¹/₂; n, +¹/₂; p, +¹/₂>, или первое состояние из табл. 16.4. Но это состояние — то же самое, что первое по списку в (16.42), так что наше выражение (16.45) подтверждается. Вторая строчка в табл. 16.1 утверждает, если воспользоваться нашими теперешними обозначениями, что

(16.47)

То, что стоит в правой части, можно, очевидно, составить из двух членов во второй строчке табл. 16.4, взяв √²/₃ от первого члена и √¹/₃ от второго. Иначе говоря, (16.47) эквивалентно

(16.48)

Мы нашли два наших первых коэффициента Клебша—Гордона α, и β [см. (16.46)]:

(16.49)

Повторяя ту же процедуру, найдем

(16.50)

а также, конечно,

(16.51)

Это и есть правила составления из спина 1 и спина ¹/₂ полного спина J=³/₂. Мы свели (16.45) и (16.50) в табл. 16.5.

Таблица 16.5. СОСТОЯНИЯ С J=³/₂ АТОМА ДЕЙТЕРИЯ

Но у нас пока есть только четыре состояния, а у системы, которую мы рассматриваем, их шесть.

Из двух состояний во второй строчке (16.42) мы для образования |J=³/₂, М=+¹/₂> составили только одну линейную комбинацию. Есть и другая линейная комбинация, ортогональная к ней, у нее тоже М=+¹/₂ и она имеет вид

(16.52)

Точно так же из двух состояний в третьей строке (16.42) можно скомбинировать два взаимно-ортогональных состояния, каждое с М=-¹/₂. То, которое ортогонально к (16.50), имеет вид

(16.53)

это и есть два оставшихся состояния. У них M=m_e+m_d=±¹/₂; эти состояния должны соответствовать J=¹/₂. Итак, мы имеем

(16.54)

Можно убедиться, что эти два состояния действительно ведут себя как состояния объекта со спином ¹/₂; для этого надо выразить дейтронную часть через нейтронные и протонные состояния (при помощи табл. 16.3). Первое состояние в (16.53) превратится в

(16.55)

а это можно переписать так:

(16.56)