Трактат о научном познании для умов молодых, пытливых и критических

В VII—VI вв. до н. э. в развитии древнегреческого общества наступил переломный момент. На побережье Малой Азии и Пелопоннесского полуострова вместо старых, тиранических государств начали возникать так называемые демократические города-государства — греческие полисы. Как вы знаете по школьным учебникам истории, это была демократия для рабовладельцев, но не для рабов. Однако внутри сообщества свободных граждан все решения должны были приниматься на основе голосования горожан, собиравшихся для обсуждения важных проблем на общие собрания. Чтобы склонить своих сограждан в ту или иную сторону, политические руководители, вожди различных группировок должны были убедить их в своей правоте, доказать правильность своей позиции. Очень скоро практика убеждения и доказательства была перенесена греческими мудрецами в другие области общественной жизни, прежде всего в сферу обучения и познания мира. Первоначальный смысл доказательства заключался в том, чтобы, пользуясь общими для всех правилами рассуждения, прийти к согласованному мнению или к истине. В дальнейшем под доказательством стали понимать последовательное выведение из некоторых принятых утверждений, называвшихся посылками или предпосылками, определенных следствий. Если посылки считались истинными и доказательство проводилось без нарушения принятых правил, то полученные из них заключения или следствия также рассматривались как истинные. Вскоре выяснилось, что из относительно небольшого числа бесспорных, очевидных или общепринятых посылок, не вызывавших ни у кого сомнения, на основе доказательства или процедуры логического выведения можно получить практически бесконечное число различных следствий. В обычной жизни мы переходим от одного утверждения к другому, опираясь главным образом на их содержание.

Создание математических и логических доказательств позволило в корне изменить этот привычный способ рассуждения. Математики осуществляют переход от одних утверждений к другим на основе заранее установленных правил, которые учитывают лишь форму данных утверждений, не касаясь по существу дела их содержания, то есть тех сторон и свойств действительности, к которым эти утверждения относятся или могут относиться и применяться. С примерами таких доказательств или, как их часто называют, формальных преобразований вы хорошо знакомы по курсу школьной математики.

В самом деле, беря ту или иную алгебраическую, геометрическую или тригонометрическую формулу, вы, пользуясь заранее установленными правилами, можете получить из них целый ряд других, необходимых вам для той или иной цели формул, даже не задумываясь о том, каково значение входящих в формулы величин.

Какие же преимущества сулит такой подход к математике?

Отныне ученик получает от своего учителя не готовый рецепт, который остается только зазубрить, но прежде всего метод математического рассуждения, доказательства, а вместе с тем и способ открытия новых теорем. Учитель сообщает ранее полученные теоремы или аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства, а также основные логические правила — рассуждения и формулы, позволяющие преобразовывать уже известные теоремы в другие. Мало того, что каждое доказанное предложение приобретает достоинство объективной истины, процедура доказательства снимает всякие сомнения в этом, но, что гораздо важнее, математические предложения становятся понятными. Каждый, кто обладает способностями и необходимыми познаниями, может сам открывать и доказывать такие теоремы.

Не стоит, впрочем, думать, что открытия рождаются всегда в самой процедуре доказательства. Гораздо чаще доказательство применяется для установления связи и взаимной зависимости утверждений, открытых в результате других творческих процессов, часто даже эмпирических наблюдений. Величайший мыслитель Нового времени Галилей недаром подчеркивает в одной из своих бесед, что Пифагор, прежде чем доказать свою знаменитую теорему, по-видимому, нашел заключенное в ней соотношение эмпирическим путем. Известно также, что Архимед, прежде чем привести строгие математические доказательства, например, своей знаменитой теоремы о квадратуре параболы, позволяющей выразить площадь фигуры, ограниченной кривой линией, через площадь более простого прямоугольника, сначала производил ряд чисто механических экспериментов. Он вырезал параболические фигуры и различные прямоугольники из папируса и взвешивал их, стараясь найти сначала весовое соответствие, а затем, найдя такое соответствие приблизительно, придал ему форму строго геометрического доказательства. Тем не менее открытие доказательства и формальных преобразований как основного механизма построения математики привело к ее удивительному расцвету в Древней Греции.

Между зарождением египетской, а затем вавилонской математики и Фалесом лежит почти тысячелетний период. За это время сделано немало: открыты важные арифметические правила, осуществлены некоторые геометрические построения.