Трактат об электричестве и магнетизме

Мы знаем, что в электростатической системе единиц отношение количества электричества, распределённого на некотором проводнике, к потенциалу этого проводника есть ёмкость проводника, измеряемая длиной. Если проводник представляет собой сферу, помещённую в безграничное поле, эта длина равна радиусу сферы. Поэтому отношение количества электричества к электродвижущей силе является длиной. Отношение же количества электричества к току есть время, в течение которого течёт ток, переносящий это количество электричества. Поэтому отношение тока к электродвижущей силе есть отношение длины к времени, иными словами, скорость.

В том, что проводимость в электростатической системе единиц имеет размерность скорости, можно убедиться, предположив, что сфера радиуса r, заряжена до потенциала V, а затем соединена с Землёй при помощи данного проводника. Пусть сфера сжимается, так что электричество уходит по проводнику, а потенциал сферы остаётся постоянным и равным V. Тогда заряд на сфере в любой момент времени равен rV а ток равен -d/dr·(rV). Поскольку значение V поддерживается постоянным, ток равен -dr/dr·V, причём электродвижущая сила, вызывающая ток, равна V.

Проводимость проводника равна отношению тока к электродвижущей силе, или -dr/dr т.е. скорости, с которой должен уменьшаться радиус сферы для того, чтобы потенциал её сохранял постоянное значение, по мере того как заряд уходит в Землю по проводнику.

Таким образом, в электростатической системе проводимость проводника есть скорость, и, следовательно, имеет размерность [L^-1T].

Стало быть, сопротивление проводника имеет размерность [L^-1T]. Удельное сопротивление на единицу объёма имеет размерность [T], а удельная проводимость на единицу объёма имеет размерность [T^-1].

Численное значение этих коэффициентов зависит только от выбора единицы времени, которая в разных странах одна и та же.

Удельное сопротивление на единицу веса имеет размерность [L^-3MT].

279. В дальнейшем мы увидим, что в электромагнитной системе единиц сопротивление проводника выражается скоростью, так что в этой системе сопротивление проводника имеет размерность [LT^-1].

Проводимость проводника, разумеется, равна обратной величине.

Удельное сопротивление на единицу объёма имеет в этой системе единиц размерность [L²T^-1], а удельное сопротивление на единицу веса имеет размерность [L^-1T^-1M].

Линейная система проводников в общем случае

280. Наиболее общий случай линейной системы представляет собой n точек A₁, A₂, …, A_n, соединённых между собой попарно с помощью n(n-1)/2 линейных проводников. Пусть проводимость (или величина, обратная сопротивлению) проводника, который соединяет любую пару точек, скажем точки A_p и A_q, обозначена через K_pq Ток от точки A_p к точке A_q обозначим через C_pq. Пусть электрические потенциалы в точках A_p и A_q равны P_p и P_q соответственно, а внутренняя электродвижущая сила (если она есть), которая действует вдоль проводника от точки A_p к точке A_q, равна E_pq.

Ток от A_p к A_q по закону Ома равен

C

_pq

=

K

_pq

(P

_p

-P

_q

+E

_pq

)

.

(1)

Для этих величин мы имеем следующий набор соотношений.

Проводимость какого-либо проводника та же самая в любом направлении, или

K

_pq

=

K

_qp

.

(2)

Электродвижущая сила и ток является направленными величинами, т. е.

E

_pq

=

-

E

_qp

 и

C

_pq

=

-

C

_qp

.

(3)

Пусть P₁, P₂, …, P_n - значения потенциалов в точках A₁, A₂, …, A_n соответственно, a Q₁, Q₂, …, Q_n - соответственные количества электричества, которые поступают в систему за единицу времени через эти точки. Эти величины с необходимостью подчиняются условию «непрерывности»

Q

₁

+

Q

₂

+…+

Q

_n

=

0,

(4)

поскольку электричество не может неограниченно нарастать, а равно и производиться внутри системы.

Условие «непрерывности» в любой точке A_p есть

Q

_p

=

C

_p1

+

C

_p2

+…+ и т.д.

C

_pn

.

(5)

Подставляя значение токов из соотношения (1), получим

Q

_p

=

(

K

_p1

+

K

_p2

+ и т.д. +

K

_pn

)

P

_p

-

-

(

K

_p1

P

₁

+

K

_p2

P

₂

+ и т.д. +

K

_pn

P

_n

)

+

+

(

K

_p1

E

_p1

+ и т.д. +

K

_pn

E

_pn

).

(6)

Символ K_pp в это уравнение не входит. Поэтому мы можем принять

K

_pp

=-(

K

_p1

+

K

_p2

+

K

_pn

),

(7)

т.е. считать, что величина K_pp равна, а знак противоположен сумме проводимостей всех проводников, сходящихся к точке A_p Тогда можем написать соотношение непрерывности для точки A_p в виде

K

_p1

P

₁

+

K

_p2

P

₂

+ и т.д. +

K

_pp

P

_p

+ и т.д. +

K

_pn

P

_n

=

=

K

_p1

E

₁

+ и т.д. +

K

_pn

E

_n

-

Q

_p

.

(8)

Полагая в этом уравнении индекс p равным поочерёдно 1,2 и т. д. n, мы получим n уравнений одного и того же вида для определения n потенциалов P₁, P₂, … P_n.

Однако если мы сложим все уравнения системы (8), мы получим тождественный нуль в соответствии с соотношениями (3), (4) и (7). Поэтому число независимых уравнений в системе (8) равно n-1. Этого будет достаточно для того, чтобы определить разности потенциалов между любой парой точек, но не абсолютные значения потенциалов в каждой точке. Однако этого и не требуется для определения токов в системе.

Если мы обозначим через D определитель

K

₁₁

,

K

₁₂

,

…,

K

_1(n-1)

,

,

K

₂₁

,

K

₂₂

,

…,

K

_2(n-1)

,

…,

…,

…,

…,

K

_(n-1)1

,