Трактат об электричестве и магнетизме

K

_(n-1)2

,

…,

K

_(n-1)(n-1)

,

(9)

а через D_pq - минор элемента K_pq, мы получим для величины P_p-P_n выражение

(P

_p

-P

_n

)D

=

(K

₁₂

E

₁₂

+ и т.д. -Q

₁

)D

_p1

+

+

(K

₂₁

E

₂₁

+ и т.д. -Q

₂

)D

_p2

+ и т.д. +

+

(K

_q1

E

_q1

+ и т.д. +K

_qn

E

_qn

-Q

_q

)D

_pq

+ и т.д.

(10)

Тем же путём можно определить превышение потенциала любой другой точки, скажем A_q, над потенциалом точки A_n. После этого мы можем определить ток между точками A_p и A_q из уравнения (1) и тем самым полностью решить задачу.

281. Теперь мы продемонстрируем свойство взаимности любых двух проводников, входящих в систему, что соответствует уже рассмотренному в п. 86 свойству взаимности для статического электричества.

В выражении для потенциала P_p коэффициент при Q_q равен -D_pq/D. В выражении для P_q коэффициент при Q_p равен -D_qp/D.

Но величина D_pq отличается от D_qp только заменой символов, при которой все K_qp переходят в K_pq. Как следует из соотношения (2), эти две последние величины равны друг другу, поскольку проводимость проводника одна и та же для обоих направлений. Поэтому

D

_pq

=

D

_qp

.

(11)

Отсюда следует, что та часть потенциала в точке A_p которая обусловлена введением единичного тока в точку A_q, равна той части потенциала в точке A_q, которая обусловлена введением одиночного тока в точку A_p.

Отсюда можно вывести некоторое предложение более практического вида.

Пусть A, B, C, D - любые четыре точки системы, и пусть ток Q входит в систему через точку A и выходит через точку B, создавая превышение потенциала в точке C над потенциалом в точке D на величину P. Тогда, если сделать так, что такой же по величине ток Q будет входить в систему через точку C и выходить через точку D, то потенциал в точке A будет превышать потенциал в точке B на ту же самую величину P.

Если ввести электродвижущую силу E, действующую на проводник от A к B, и если эта электродвижущая сила вызывает ток C от X к Y, то та же самая электродвижущая сила E, введённая в проводник в направлении от X к Y, вызовет точно такой же ток C от A к B.

Источником электродвижущей силы E может быть вольтова батарея, введённая между названными точками, следует только позаботиться о том, чтобы после подключения батареи сопротивление проводника не изменилось.

282 а. Если электродвижущая сила E_pq действует вдоль проводника A_pA_q, легко найти ток, возникающий при этом в другом проводнике системы A_pA_s:

K

_rs

K

_pq

E

_rs

(

D

_rp

+

D

_sq

-

D

_rp

-

D

_sp

)/

D

.

Ток равен нулю, если

D

_rp

+

D

_sq

-

D

_rp

-

D

_sp

=

0.

(12)

Но в силу (11) то же самое уравнение справедливо и в том случае, когда при наличии электродвижущей силы вдоль A_rA_s ток в проводнике A_pA_q равен нулю. Вследствие такого свойства взаимности два проводника, к которым оно относится, называются сопряжёнными.

Теория сопряжённых проводников была исследована Кирхгофом. Он сформулировал законы для линейной системы следующим образом, обходя рассмотрение потенциала.

1. (Условие «непрерывности»). В любой точке системы сумма всех токов, текущих к этой точке, равна нулю.

2. В любом замкнутом контуре, образованном проводниками, сумма электродвижущих сил, действующих в контуре, равна сумме произведений тока в каждом проводнике на его сопротивление.

Мы получаем этот результат, складывая уравнения вида (1) для замкнутого контура, когда потенциалы с необходимостью исчезают.

282 б¹. Если проводники образуют простую сеть и мы предполагаем, что в каждой её ячейке циркулирует некоторый ток, тогда в том проводнике, который является общим для двух соседних ячеек, ток будет равен разности токов, циркулирующих в этих двух ячейках, причём токи считаются положительными, если они циркулируют в направлении против часовой стрелки. Для этого случая легко доказать следующее утверждение. Пусть x - величина тока, E - электродвижущая сила и R - полное сопротивление в любой ячейке. Пусть, далее, y, z, … - токи, циркулирующие в соседних ячейках, имеющих общие проводники с той, в которой течёт ток x. Сопротивление этих общих проводников обозначим соответственно через s, t, …. Тогда

Rx

-

sy

-

tz

- и т.д. =

E

.

¹ Извлечено из записей лекций профессора Максвелла мистером Дж. А. Флемингом, бакалавром искусств (Сент Джонс Колледж). См. также статью м-ра Флеминга. Phil. Mag., XX, р. 221, 1885 (примечание Нивена).

Для того чтобы проиллюстрировать, как используется это правило, мы возьмём устройство, известное под названием мостика Уитстона, и будем исходить из чертежа и обозначений, принятых в п. 347. Применяя это правило к случаю трёх контуров OBC, OCA и OAB в которых циркулируют токи x, y, z соответственно, мы получим три уравнения, а именно

(a++)

x

-

y

-

z

=E,

-

x

+(b++)

y

-

z

=0,

-

x

-

y

+(c++)

z

=0.

Из этих уравнений мы можем определить величину z-y, ток, текущий через гальванометр в ответвлении OA. Мы, однако, отсылаем читателя к п. 347 и последующим, где обсуждается этот и другие вопросы, связанные с мостиком Уитстона.

Тепло, производимое в системе