Трактат об электричестве и магнетизме

283. Механический эквивалент количества тепла, производимого в единицу времени в проводнике с сопротивлением R при протекании тока C определяется в согласии с п. 242 формулой

JH

=

RC^2

.

(13)

Нам, следовательно, нужно определить сумму величин RC^2 для всех проводников системы.

Проводник, соединяющий точки A_p и A_q имеет проводимость K_pq и сопротивление R_pq, причём

K

_pq

R

_pq

=

1.

(14)

Ток в этом проводнике по закону Ома равен

C

_pq

=

K

_pq

(P

_p

-P

_q

)

.

(15)

Мы, однако, предположим, что значение тока не определяется законом Ома, а равно X_pq, где

X

_pq

=

C

_pq

Y

_pq

.

(16)

Чтобы определить тепло, производимое в системе, нам следует найти сумму всех величин вида R_pqX^2_pq или

JH

=

{

R

_pq

C^2

_pq

+

2R

_pq

C

_pq

Y

_pq

+

R

_pq

Y^2

_pq

}

(17)

Внося значения C_pq и помня соотношение между K_pq и R_pq, получаем

[

(P

_p

-P

_q

)

(C

_pq

+2Y

_pq

)

+

R

_pq

Y^2

_pq

].

(18)

Теперь, поскольку и величины C и величины Y должны удовлетворять условию непрерывности в точке A_p, мы имеем

Q

_p

=

C

_p1

+

C

_p2

+ и т.д. +

C

_pn

,

(19)

Q

_p

=

X

_p1

+

X

_p2

+ и т.д. +

X

_pn

,

(20)

и, следовательно,

0

=

Y

_p1

+

Y

_p2

+ и т.д. +

Y

_pn

.

(21)

Поэтому, складывая все члены в (18), мы находим

(

R

_pq

X^2

_pq

)

=

P

_p

Q

_p

+

R

_pq

X^2

_pq

.

(22)

Поскольку величины R всегда положительны и величины Y^2 существенно положительны, последний член этого равенства должен быть существенно положителен. Следовательно, первый член правой части даёт минимальное значение всего выражения, соответствующее тому случаю, когда величина Y в каждом проводнике обращается в нуль и ток в каждом проводнике определяется законом Ома.

Отсюда вытекает следующая теорема:

284. В любой системе проводников, не содержащей внутренних электродвижущих сил, тепло, производимое токами, распределёнными по закону Ома, оказывается, меньше, чем если бы токи были распределены любым другим способом, совместным с реальными условиями втекания и вытекания тока.

Тепло, которое действительно производится в цепи при выполнении закона Ома, эквивалентно в механическом отношении величине P_pQ_q сумме произведений количеств электричества, подводимых к разным внешним электродам, на потенциалы соответствующих электродов.

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VI

Изучаемые в п. 280 законы распределения токов могут быть выражены с по мощью следующих легко запоминаемых правил.

Пусть потенциал одной из точек, скажем точки A_n принят за нуль. Тогда, как показано в тексте, если в точку A_s притекает количество электричества Q_s потенциал в точке A_p равен -(D_ps/D)Q_s.

Величины D и D_ps могут быть определены с помощью следующих правил. Величина -D равна сумме произведений проводимостей, причём каждое произведение содержит (n-1) сомножитель и не принимаются во внимание такие произведения, которые содержат проводимости ветвей, образующих замкнутые контуры. Величина D_ps равна сумме произведений, составленных каждое из (n-2) сомножителей, причём не учитываются такие произведения, которые содержат проводимости ветвей A_pA_n или A_sA_n, а также такие, в которые входят проводимости ветвей, образующих либо сами по себе, либо с помощью ветвей A_pA_n или A_sA_n замкнутые контуры.

Из уравнения (10) видно, что электродвижущая сила E_qr, действующая в разветвлении A_qA_r действует так же, как и источник тока величины K_qrE_qr, расположенный в точке R, и сток той же величины, расположенный в точке Q, так что предыдущее правило применимо и к этому случаю. Однако результат приложения этого правила можно сформулировать проще следующим образом. Если электродвижущая сила E_pq действует вдоль проводника A_pA_q, то величина тока, возникающего при этом в другом проводнике A_rA_s, равна

K

_rs

K

_pq

D

E

_pq

,

где D вычисляется по указанному выше правилу, а =₁-₂.

Тогда ₁ вычисляется следующим образом: составим из проводимостей всевозможные произведения, содержащие (n-2) сомножителей. Выберем из этих произведений такие, которые содержат как проводимость ветви A_pA_r (или произведение проводимостей тех ветвей, которые вместе с A_pA_r образуют замкнутый контур), так и проводимость ветви A_qA_s (или произведение проводимостей тех ветвей, которые вместе с A_sA_q образуют замкнутый контур). Из выбранных таким образом произведений отбросим те, которые содержат проводимости ветвей A_rA_s или A_pA_q, или же произведения проводимостей тех ветвей, которые образуют замкнутые контуры либо сами по себе, либо с помощью A_rA_s или A_pA_q. Сумма оставшихся членов даст выражение для ₁. Величина ₂ получается по тому же способу, только вместо ветвей A_pA_r и A_sA_q следует брать ветви A_pA_s и A_qA_r соответственно.

Если ток входит через точку P и выходит через точку Q, отношение этого тока к разности потенциалов между A_p и A_q, равно D/'.

Здесь ' представляет собой сумму произведений проводимостей, причём в каждое произведение входит (n-2) сомножителей, и отбрасываются все те произведения, которые содержат проводимость ветви A_pA_q или содержат произведения проводимостей тех ветвей, которые вместе с ветвью A_pA_q образуют замкнутый контур.