Трактат об электричестве и магнетизме

Если область имеет только одну ограничивающую поверхность, то можно считать, что она допускает сжатие вовнутрь без нарушения непрерывности или самопересечений. Если область обладает простой непрерывностью, как, например, сфера, то процесс сжатия может продолжаться до тех пор, пока область не стянется в точку; если область подобна кольцу, то в результате получится замкнутая кривая; если же область является многосвязной, то результатом её сжатия будет диаграмма линий, индекс цикличности которой равен индексу цикличности рассматриваемой области. Пространство вне рассматриваемой области характеризуется тем же индексом цикличности, что и сама эта область. Следовательно, если область ограничена наряду с внешней и внутренними поверхностями, её индекс цикличности равен сумме индексов, характеризующих все эти поверхности.

Когда некоторая область содержит внутри себя другие области, она называется многограничной, или Перифрактической (Periphractic region).

Число внутренних ограничивающих поверхностей у области называется порядком её перифрактичности. Замкнутая поверхность тоже является многограничной, её порядок перифрактичности равен единице.

Индекс цикличности замкнутой поверхности равен удвоенному индексу цикличности любой из областей, ограничиваемых ею. Для того чтобы найти индекс цикличности ограниченной поверхности, допустим, что все границы сжимаются вовнутрь без нарушения непрерывности до тех пор, пока не встретятся друг с другом. Тогда поверхность стянется либо в точку в случае ациклической поверхности, либо в линейный граф в случае циклических поверхностей. Индекс цикличности графа совпадает с индексом цикличности поверхности.

19.Теорема I. Если в некоторой ациклической области справедливо соотношение

Xdx

+

Ydy

+

Zdz

=

-D

то значение линейного интеграла, взятого от точки A до точки P, будет одинаковым для любого пути внутри этой области.

Покажем сначала, что линейный интеграл, взятый по любому замкнутому пути в пределах области, равен нулю.

Пусть нанесены эквипотенциальные поверхности. Они либо замкнуты, либо полностью ограничены поверхностью области, так что замкнутая линия внутри этой области, если она пересекает какую-то из этих поверхностей на одном из участков своего пути, должна пересечь ту же самую поверхность в противоположном направлении на каком-то другом участке своего пути; поскольку соответствующие вклады в линейный интеграл окажутся одинаковыми по величине и противоположными по знаку, то полное его значение будет равно нулю.

Следовательно, если считать, что AQP и AQ'P - два пути из A в P то линейный интеграл вдоль AQ'P равен сумме интеграла вдоль AQP и интеграла по замкнутому пути AQ'PQA. Но интеграл по замкнутому пути равен нулю, и поэтому интегралы по двум путям AQP и AQ'P равны между собой.

Таким образом, если задать потенциал в какой-либо одной точке, принадлежащей этой области, то тем самым он будет определён и для любой другой точки.

20.Теорема II. Если всюду внутри циклической области справедливо уравнение

Xdx

+

Ydy

+

Zdz

=

-D

то линейный интеграл из точки A в точку P, взятый вдоль линии, проведённой в пределах этой области, вообще говоря, не определён до тех пор, пока не установлен канал, по которому происходит связь между A и P.

Пусть N есть индекс цикличности области, тогда при помощи поверхностей (которые мы будем называть Диафрагмами) можно осуществить N сечений области, запирающих N каналов связи и сводящих тем самым данную область, не разрушая её непрерывности, к области, удовлетворяющей условию ацикличности.

Согласно последней теореме, линейный интеграл от A до произвольной точки P, взятый вдоль линии, не пересекающей ни одну из этих диафрагм, будет иметь вполне определённое значение.

Возьмём теперь точки A и P, сколь угодно близко расположенные друг к другу, но находящиеся на противоположных сторонах диафрагмы, и обозначим через K линейный интеграл от A до P.

Пусть A' и P' будут двумя другими точками, сколь угодно близкими друг к другу, расположенными на противоположных сторонах той же самой диафрагмы, а K' - линейный интеграл от A' до P'. Тогда K'=K.

Действительно, если мы проведём две почти совпадающие линии AA' и PP', расположенные по разные стороны от диафрагмы, то линейные интегралы вдоль них будут равны между собой. Пусть каждый из этих интегралов есть L тогда линейный интеграл K взятый вдоль A'P', окажется равным линейному интегралу, взятому вдоль A'A+AP+PP' = -L+K+L = K, т.е. линейному интегралу вдоль AP.