Читаем Трактат об электричестве и магнетизме полностью

Трактат об электричестве и магнетизме

Предположим теперь, что величины X, Y, Z не являются непрерывными в пространстве, охватываемом замкнутой поверхностью, а на некоторой поверхности F{x,y,z}=0 изменяются скачком от значений X, Y, Z на отрицательной стороне этой поверхности до значений X', Y', Z' на её положительной стороне.

Если этот разрыв происходит, скажем, между x₁ и x₂ то значение X₂-X₁ окажется равным

x₂

x₁

(X'-X)

(6)

здесь в подынтегральном выражении следует рассматривать только конечные значения производной от X

Таким образом, в этом случае полный поверхностный интеграл от R по замкнутой поверхности будет представляться выражением

R cos dS

(X'-X)

(Y'-Y)

(Z'-Z)

(7)

или, если через l', m', n' обозначить направляющие косинусы нормали к поверхности разрыва, а через dS' - элемент этой поверхности,

R cos dS

{

l'(X'-X)

m'(Y'-Y)

n'(Z'-Z)

}

dS'

(8)

где интегрирование в последнем члене производится по поверхности разрыва.

Если в каждой точке, где X, Y, Z непрерывны, справедливо уравнение

(9)

а на каждой поверхности, где они разрывны,-

l'X'

m'Y'

n'Z'

l'X

m'Y

n'Z

(10)

то поверхностный интеграл по любой замкнутой поверхности равен нулю и про распределение векторной величины говорят, что оно является Соленоидальным.

Мы будем ссылаться на уравнение (9) как на Общее условие соленоидальности, а на уравнение (10) - как на условие соленоидальности на поверхности.

22. Рассмотрим теперь случай, когда уравнение

(11)

выполнено в каждой точке внутри поверхности S. Отсюда следует, что поверхностный интеграл по замкнутой поверхности равен нулю.

Пусть теперь замкнутая поверхность S состоит из трёх частей S₁, S₀, и S₂, причём S₁ - это поверхность произвольной формы, ограниченная замкнутой кривой L₁ a S₀ - поверхность, образованная линиями, проведёнными из каждой точки кривой L₁ всегда совпадающими по направлению с R. Если l, m, n - направляющие косинусы нормали в произвольной точке поверхности S₀, то мы имеем

R cos

(12)

Следовательно, эта часть поверхности не даёт никакого вклада в значение поверхностного интеграла.

Пусть S₂ будет другой поверхностью произвольной формы, ограниченной замкнутой кривой L₂, по которой она пересекается с поверхностью S₀

Обозначим через Q₁, Q₁, Q₂ поверхностные интегралы, взятые по поверхностям S₁, S₀ и S₂, а через Q - поверхностный интеграл по замкнутой поверхности S; тогда

₁

₀

₂

(13)

но мы знаем, что

₀

(14)

поэтому

₂

-Q

₁

(15)

иными словами, поверхностный интеграл по поверхности S₂ равен по величине и противоположен по знаку поверхностному интегралу по S₁ независимо от формы и расположения S₂ при условии, что промежуточная поверхность S₀ является поверхностью, к которой направленная величина R всегда тангенциальна.

Если предположить, что L₁ есть замкнутая кривая, ограничивающая небольшую площадь, то S₀ окажется трубчатой поверхностью, обладающей тем свойством, что поверхностный интеграл по любому полному сечению этой трубки одинаков.

Так как всё пространство может быть разделено на такого рода трубки, то при выполнении условия

(16)

распределение векторной величины, удовлетворяющей этому уравнению, называется Соленоидальным Распределением.

О трубках и линиях тока

Если пространство разделено на трубки таким образом, что поверхностный интеграл для каждой из них равен единице, то такие трубки называются единичными, а поверхностный интеграл по любой конечной поверхности S, ограниченной некоторой замкнутой кривой L, равен числу единичных трубок, проходящих сквозь S в положительном направлении, или, что то же самое, числу единичных трубок, проходящих внутри замкнутой кривой L.

Следовательно, поверхностный интеграл по поверхности S зависит только от формы её границы L, но не от формы самой поверхности в пределах той же её границы.

О многограничных областях

Если во всей области, ограниченной одной замкнутой поверхностью S, выполнено условие соленоидальности

то поверхностный интеграл, взятый по любой замкнутой поверхности, проведённой внутри этой области, будет равен нулю, а поверхностный интеграл, взятый по ограниченной поверхности внутри этой области, будет зависеть только от формы той замкнутой кривой, которая образует границу этой поверхности.

В общем случае, однако, неправильно утверждать, что те же результаты сохраняются, если область, внутри которой удовлетворяется условие соленоидальности, ограничена иначе, нежели одной поверхностью.

Действительно, если она ограничена более чем одной непрерывной поверхностью, то одна из них является внешней, а остальные - внутренними, и область внутри поверхности S оказывается многограничной, содержащей внутри себя другие области, полностью охватываемые S.

Перейти на страницу: