Трактат об электричестве и магнетизме

Предположим, что условие соленоидальности не удовлетворяется внутри одной из этих охватываемых областей, скажем, внутри области, ограниченной поверхностью S₁, и поверхностный интеграл по поверхности, охватывающей эту область, равен Q₁=R cos dS₁ пусть Q₂, Q₃, … являются соответствующими величинами для других областей, охватываемых поверхностями S₂, S₃, ….

Тогда, если внутри области S провести некоторую замкнутую поверхность S', то значение поверхностного интеграла на ней будет равно нулю только в том случае, когда эта поверхность не содержит внутри себя ни одну из областей, охватываемых поверхностями S₂, S₃, …. Если же она включает какие-то из них, то соответствующий поверхностный интеграл равен сумме поверхностных интегралов по поверхностям различных охватываемых областей, лежащих внутри S'.

По этой же самой причине поверхностный интеграл, взятый по поверхности, ограниченной замкнутой кривой, будет иметь одинаковое значение только для таких поверхностей (ограниченных той же замкнутой кривой), которые допускают совмещение с данной поверхностью путём непрерывного изменения поверхности в пределах области, охватываемой S.

Если нам предстоит работать с многограничной областью, то первым делом следует свести её к однограничной путём проведения линий L₁, L₂, …, соединяющих внутренние поверхности S₁, S₂, …, с внешней поверхностью S. Каждая из этих линий при условии, что она соединяет поверхности, ранее не связанные непрерывным соединением, сокращает порядок перифрактичности на единицу, так что полное число линий, которые необходимо нанести для устранения многограничности, равно порядку перифрактичности, или числу внутренних поверхностей. При нанесении этих линий мы обязаны помнить, что любая линия, соединяющая ранее уже соединённые поверхности, не уменьшает перифрактичности, а вводит цикличность. Когда эти линии проведены, можно утверждать, что при удовлетворении условия соленоидальности внутри S поверхностный интеграл, взятый по любой замкнутой поверхности, лежащей внутри S, но не пересекающей ни одной из этих линий, равен нулю. Если же она пересекает какую-то линию, скажем, L₁, один или нечётное число раз, то она охватывает поверхность S₁, и соответствующий поверхностный интеграл равен Q₁.

Наиболее знакомым примером многограничной области, где удовлетворяются условия соленоидальности, является область, окружающая массу, которая притягивает или отталкивает с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

В этом случае мы имеем

X

=

m

x

r^3

,

Y

=

m

y

r^3

,

Z

=

m

z

r^3

,

где масса m предполагается расположенной в начале координат.

В любой точке, где расстояние r конечно,

dX

dx

+

dY

dy

+

dZ

dz

=

0,

но в начале координат эти величины становятся бесконечными. Для любой замкнутой поверхности, не содержащей внутри себя начала координат, поверхностный интеграл равен нулю. Если же она содержит внутри начало координат, то поверхностный интеграл по ней равен 4m

Если по какой-то причине мы захотим рассматривать область вокруг m не как многограничную, то тогда должны провести линию из m до бесконечности и при взятии поверхностного интеграла помнить, что нужно прибавлять 4m всякий раз, когда эта линия пересекает поверхность от её отрицательной стороны к положительной.

О правовинтовых и левовинтовых соотношениях в пространстве

23. В настоящем трактате поступательное движение вдоль какой-либо оси и вращательное движение вокруг этой же оси будут считаться движениями одного и того же знака при условии, что их направления соответствуют направлениям поступательного перемещения и вращения обычного, т. е. правого винта ¹⁰.

¹⁰ Совместное действие мышц руки, когда мы, поворачивая тыльной стороной правую ладонь наружу, одновременно проталкиваем руку вперёд, оставляет в памяти более прочный отпечаток характера правовинтового движения, чем какое-либо словесное определение. Обычно употребляемый пробочный штопор тоже может служить материальным образом этих же самых соотношений.

Профессор У. X. Миллер (W. Н. Miller) подсказал мне, что усики у виноградной лозы закручиваются по правому винту, а у хмеля - по левому; таким образом, системы соотношений в пространстве могли бы быть названы соответственно системой виноградных соотношений и хмелёвых соотношений.

Принимаемая нами виноградная система - это система Линнея (Linnaeus); ею пользуются изготовители винтов во всех цивилизованных странах, кроме Японии. Де Кандолле был первым, назвавшим хмелевую лозу правосторонней, в этом ему последовали Листинг и большинство авторов, писавших о круговой поляризации света. Винты, подобные усикам хмелёвой лозы, применяются для сцепления железнодорожных вагонов, а также для прикрепления колёс с левой стороны обычных экипажей, и они всегда называются левыми винтами всеми, кто ими пользуется.