Трактат об электричестве и магнетизме

Предположим теперь, что кривые постоянных образуют семейство замкнутых кривых, окружающих некоторую точку на поверхности, в которой принимает своё минимальное значение, равное ₀; пусть последняя кривая этого семейства, для которой =₁ совпадает с замкнутой кривой s.

Предположим также, что кривые постоянных образуют семейство линий, проведённых от точки, где =₀, до замкнутой кривой s, причём первая линия, соответствующая значению ₀, совпадает с последней линией ₁.

При интегрировании (8) по частям (первый член интегрируется по , а второй - по ) двойные интегралы взаимно уничтожаются и выражение принимает вид

₁

₀

X

dx

d

=₁

d

-

₀

X

dx

d

=₀

d

-

-

₁

₀

X

dx

d

=₁

d

+

₁

₀

X

dx

d

=₀

d

.

(9)

Так как точка (, ₁) совпадает с точкой (, ₀), то третий и четвёртый члены уничтожают друг друга, и поскольку в точке, где =₀ существует только одно значение x то второй член обращается в нуль и выражение сводится к первому члену.

Так как кривая =₁ совпадает с замкнутой кривой s, мы можем написать это выражение в виде

X

dx

ds

ds

,

(10)

где интегрирование выполняется вдоль кривой s. Аналогично можно поступить и с теми частями поверхностного интеграла, которые зависят от Y и Z, так что окончательно получаем

(

l

+

m

+

n

)

dS

=

X

dx

ds

+

Y

dy

ds

+

Z

dz

ds

ds

(11)

где первый интеграл распространён на поверхности S, а второй берётся вдоль ограничивающей её кривой s. ¹¹

¹¹ Эта теорема была дана профессором Стоксом (Smith’s Prize Examination, 1854, question 8). Она доказана в книге Томсона и Тэта Natural Philosophy, § 190 (II).

О действии оператора на векторную функцию

25. Мы видели, что оператор, обозначенный как , - это такой оператор, при помощи которого векторная величина вычисляется из её потенциала. Тот же самый оператор, однако, применённый к векторной функции, даёт результаты, входящие в две только что доказанные нами теоремы (III и IV). Профессору Тэту ¹² мы обязаны обобщением этого оператора применительно к векторным смещениям, а также большей части последующих усовершенствований.

¹² См. Proc. R. S. Edin., April 28, 1862. «On Green’s and other allied Theorems», Trans. R. S. Edin., 1869-70 - очень ценная статья, и «On some Quaternion Integrals», Proc. R. S. Edin., 1870-71.

Пусть будет векторной функцией вектора переменной точки . Как обычно, предположим, что

=

ix

+

jy

+

kz

 и

=

iX

+

jY

+

kZ

,

где X, Y, Z - составляющие в направлениях осей.

Мы должны совершить над операцию

=

i

d

dx

+

j

d

dy

+

k

d

dz

.

Выполняя эту операцию и помня правило перемножения i, j, k мы находим, что состоит из двух частей: одной - скалярной и другой - векторной.

Скалярная часть

S

=-

dX

dx

+

dY

dy

+

dZ

dz

,

(см.Теорему III)

а векторная часть

V

=

i

dZ

dy

-

dY

dz

+j

dX

dz

-

dZ

dx

+k

dY

dx

-

dX

dy

.

Если связь между X, Y, Z и , , задаётся уравнением (1) предыдущей теоремы, то мы можем записать

V

=

i

+

j

+

k

(см. Теорему IV)

Таким образом, оказывается, что функции от X, Y, Z, фигурирующие в двух теоремах, получаются в результате действия оператора на вектор, компоненты которого суть X, Y, Z. А сами эти теоремы могут быть записаны так:

S

dv

=

S

U

ds

(III)

и

S

d

=-

S

U

ds

,

(IV)

где dv есть элемент объёма, ds -элемент поверхности, d - элемент кривой, U - единичный вектор в направлении нормали.

Для того чтобы понять смысл этих функций вектора, предположим, что ₀ есть значение в точке P и будем изучать величину -₀ в окрестности P. Если построить вокруг P некоторую замкнутую поверхность, то при направленном внутрь поверхностном интеграле от , взятом по этой поверхности, величина S будет положительной и вектор -₀ около точки P в целом будет направлен в сторону P, как это показано на рис. 1.

В связи с этим я предлагаю скалярную часть от называть конвергенцией в точке P.

Для интерпретации векторной части предположим, что вектор, имеющий компоненты , , , направлен под прямым углом к плоскости листа вверх, и будем изучать вектор -₀ вблизи точки P. При этом окажется (см. рис. 2), что этот вектор в целом расположен тангенциально и направлен противоположно движению часовых стрелок.

Я предлагаю (с большой неуверенностью, однако) называть векторную часть ротацией (ротором) в точке P.

На рис. 3 проиллюстрировано сочетание ротации и конвергенции.

Рассмотрим теперь смысл уравнения V=0.

Это уравнение означает, что либо величина является скаляром, либо вектор есть пространственная вариация от некоторой скалярной функции .

26. Одно из наиболее замечательных свойств оператора состоит в том, что при повторном применении он превращается в оператор

^2

=-

d^2

dx^2

+

d^2

dy^2

+

d^2

dz^2

,

который встречается во всех разделах Физики и который мы можем называть Оператором Лапласа.

Сам по себе этот оператор существенно скалярный. Когда он действует на скалярную функцию, получается скаляр, а когда он действует на векторную функцию, получается вектор.

Если провести небольшую сферу радиуса r с центром в точке P и считать, что q₀ есть значение величины q в её центре, a q есть значение q среднее по всем точкам внутри сферы, то

q

₀

-

q

=

1

10

r^2^2q

,