Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Уравнение для электрической поверхностной плотности^e_пов

4

^e

_пов

=

n

x

(D-D)

,

(K)

n - нормаль к поверхности из среды 1 в среду 2.

Уравнение для намагничения

B

=

H

,

B

=

H

,

(L)

- магнитная проницаемость.

Уравнение для магнитной плотности

m

=

S·J

^m

=

-div M

=

-·M

.

Уравнение для магнитной силы (когда rot H=0)

H

=

-

,

H

=

-

.

Итак, перед нами совокупность сводных уравнений (А) - , и мы в состоянии оценить их совершенство и правильность с позиций нашего понимания. Вообще говоря, она отличается от системы, впоследствии канонизированной как система уравнений Максвелла. Но за малыми исключениями отличия скорее методические, а не принципиальные. Прежде всего совокупность (А) - по-другому организована; и в этом, и в некоторых её деталях ещё проглядываются следы моделей, принимавших участие в процессе поиска. Это те самые строительные леса, отмеченные ранее Максвеллом - с признательностью за оставление их - в трудах Фарадея, и выходит, что не по недосмотру сохранённые теперь им самим. Кроме того, при перегруженности системы (А) - в ней есть известная незавершённость: в частности, не проведено несколько «напрашивающихся» обобщений, даже из числа уже подготовленных и обсуждённых в тексте. И мы обязаны Дж. Дж. Томсону, Г. Герцу, О. Хевисайду и X. Лоренцу тем, что именно они оказались доброжелательно вдумчивыми последователями, сумевшими первыми осознать непреходящее значение этих уравнений и довести их до того общего по смыслу и изящного по форме состояния, которое в наше время принимается за образец физической теории.

Опуская промежуточные этапы и мотивировки действий, приведём систему уравнений Максвелла в её усовершенствованном представлении. Потом были предложены, возможно, более удачные (в отношении компоновки, объединения, обобщений, классификации по типам симметрии и инвариантности и т. п.) варианты записи [12], но данная форма (лишь слегка подправленная позже) остаётся и по сей день одной из наиболее употребительных:

rot H

=

4

c

j

^e

_пр

1

c

D

t

,

(1)

rot E

=-

1

c

B

t

,

(2)

div B

=

0

,

(3)

div D

=

4

^e

,

(4)

D

=

E

,

B

=

H

,

j

^e

=

E

^e

,

(5)

f

_мех

=

^e

E

+

1

c

j

^e

_пр

x

B

.

(6)

Причём даже порядок расстановки уравнений настолько прижился, что в «определённых кругах» (кастовость тут тоже регламентируется научным происхождением) часто говорят, «как следует из первого, второго и т.д. уравнения Максвелла», считая, видимо, перенумерацию отступничеством от Заветов Учителя, хотя легко усмотреть из сравнения (А) - с (1) - (6), что всё это дело рук Апостолов, а не Его самого.

Сейчас принимается такая классификация. Уравнения (1)- (4) - собственно уравнения электромагнитного поля. Уравнения (5) - материальные уравнения (в их простейшей разновидности - линейная изотропная среда с локальными и мгновенными взаимодействиями - без дисперсии). Сторонние поля E_стор могут быть включены в (5) или вставлены прямо в (1) - (4). Уравнение (6) выражает силу, действующую на свободные заряды и токи; через него осуществляется метрологическая связь с полями другой природы (механикой, гравитацией). Иногда (6) заменяется законом сохранения энергии, но тогда приходится делать оговорки, преждевременные на стадии постулирования общих законов движения.

Уравнения для полей (1) - (4) разбиваются на две пары: (1) и (4) выражают поля через их источники - электрические заряды и токи, а (2) и (3) источников не содержат, это автономная пара уравнений, определяющая связь между E и B, причём универсально, вне зависимости от материальных соотношений и от свойств источников. Так вот, источниковые уравнения (1) и (4) написаны Максвеллом сразу в «окончательном виде», принятом потом. Это соответственно (Е) и (J). В них скрыто содержится и уравнение непрерывности для токов проводимости (или конвекции)

div j

^e

+

^e

t

=

0.

(7)

Его Максвелл не вставляет в эту совокупность, что не означает, однако, что он не относит его к числу основополагающих. Более того, отсутствие в системе (А) - уравнения непрерывности, возможно, даже обусловлено вполне последовательными доводами: Максвелл считал его более общим, так сказать, надэлектродинамическим законом природы.

Другая автономная пара (2) и (3) представлена в «Трактате» иначе. Во-первых, Максвелл ввёл в (В) проводящий контур, движущийся со скоростью и относительно других неподвижных элементов системы (среды), что позволило ему установить (так сказать, попутно, заодно) закон преобразования полей при переходе в движущуюся (инерциальную) систему отсчёта (в нерелятивистском приближении, однако). Это и есть остаточный след модели. Его легко устранить, положив u=0 (редкая ситуация, когда частный случай инициирует более общие соотношения!). Во-вторых, Максвелл не прибегнул к форме (2), (3), а как бы, опустив её (возможно, даже и не заметив этого), сразу выдал решение: уравнения (2), (3) тождественно удовлетворяются, если представить E и B через потенциалы A, , рассматриваемые пока как произвольные функции координат и времени:

E

=-

1

c

A

t

-

,

B

=

rot A

(8)