Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

739. Этот же метод можно распространить и на серию, состоящую из любого числа колебаний. Если колебания настолько быстрые, что невозможно регистрировать момент каждого прохождения, мы можем засекать момент каждого третьего или каждого пятого прохождения, следя за тем, чтобы направления соседних регистрируемых прохождений были противоположны. Если колебания регулярно происходят в течение большого промежутка времени, то нет необходимости вести наблюдение всё это время. Мы можем начать с наблюдения достаточного числа прохождений, для того чтобы приближённо определить время одного колебания 𝑇 и момент среднего прохождения 𝑃, заметив, в каком направлении - положительном или отрицательном - оно происходит. Затем можно либо продолжать считать колебания, не отмечая моменты прохождения, либо вообще не следить за прибором. Далее мы наблюдаем вторую серию прохождений и находим время одного колебания 𝑇' и момент среднего прохождения 𝑃', замечая направление этого прохождения.

Если времена одного колебания 𝑇 и 𝑇', найденные из двух серий наблюдений, приближённо равны, мы можем перейти к более точному определению периода, комбинируя наблюдения двух серий.

Частное от деления 𝑃'-𝑃 на 𝑇 должно получиться очень близким к целому числу, чётному или нечётному в соответствии с тем, одинаковы или противоположны направления прохождений 𝑃 и 𝑃. Если это не так, то вся серия наблюдений бесполезна, но если результат очень близок к целому числу 𝑛, то, разделив 𝑃'-𝑃 на 𝑛, мы найдём значение 𝑇, среднее для всего времени колебаний.

740. Найденное таким образом время одного колебания 𝑇 является фактическим средним временем колебания; к нему необходимо вводить поправки, если мы хотим вывести из него время колебаний при бесконечно малых дугах в отсутствие затухания.

Чтобы свести наблюдаемое время к времени бесконечно малых колебаний, мы заметим, что время колебания с амплитудой 𝑐 от одного состояния покоя до другого обычно можно представить в виде 𝑇=𝑇₁(1+ϰ𝑐²), где ϰ - некоторый коэффициент, который в случае обычного маятника равен 1/64. Амплитуды следующих друг за другом колебаний равны 𝑐, 𝑐ρ^-1, 𝑐ρ^-2, …, 𝑐ρ^1-𝑛, так что полное время колебаний равно

𝑛𝑇

=

𝑇₁

⎛

⎜

⎝

𝑛+ϰ

𝑐₁²ρ²-𝑐_𝑛²

ρ²-1

⎞

⎟

⎠

,

где 𝑇 есть время, полученное из наблюдений.

Следовательно, для нахождения времени при бесконечно малых дугах 𝑇₁ мы приближённо имеем

𝑇₁

=

𝑇

⎧

⎨

⎩

1-

ϰ

𝑛

𝑐₁²ρ²-𝑐_𝑛²

ρ²-1

⎫

⎬

⎭

.

Для получения времени 𝑇₀ в отсутствие затухания мы имеем (п. 731)

𝑇₀

=

𝑇₁

sin α

=

𝑇₁

π

√π²+λ²

.

741. Уравнение прямолинейного движения тела под действием притяжения к некоторой неподвижной точке, пропорционального расстоянию, и силы сопротивления, меняющейся пропорционально скорости, следующее:

𝑑²𝑥

𝑑𝑡²

+

2𝑘

𝑑𝑥

𝑑𝑡

+

ω²(𝑥-𝑎)

=

0,

(1)

где 𝑥 - координата тела в момент времени 𝑡, 𝑎 - координата точки равновесия. Чтобы решить это уравнение, положим

𝑥-𝑎

=

𝑒

^-𝑘𝑡

𝑦

;

(2)

тогда

𝑑²𝑦

𝑑𝑡²

+

(ω²+𝑘²)

𝑦

=

0.

(3)

Решение этого уравнения:

𝑦

=

𝐶

cos (

√

ω²+𝑘²

𝑡

+

α

),

если

𝑖

меньше чем

ω

;

(4)

𝑦

=

𝐴

+

𝐵𝑡

,

если

𝑖

равно

ω

;

(5)

𝑦

=

𝐶'

cos ℎ(

√

𝑘²-ω²

𝑡'

+

α

),

если

𝑖

больше, чем

ω

.

(6)

Величину 𝑥 можно получить из 𝑦 при помощи уравнения (2). Когда 𝑘 меньше ω, движение состоит из бесконечной серии последовательности колебаний с постоянным периодом и непрерывно уменьшающейся амплитудой. С ростом 𝑘 период колебаний увеличивается, а уменьшение амплитуды становится более быстрым.

Когда величина 𝑘 (половина коэффициента сопротивления) становится равной или большей чем ω (корень квадратный из ускорения на единичном расстоянии от точки равновесия), движение перестаёт быть колебательным; за время всего движения тело может лишь один раз пройти точку равновесия, после чего оно достигает положения максимального отклонения, а затем начинает возвращаться к точке равновесия, непрерывно приближаясь к ней, но никогда её не достигая.

Гальванометры, в которых сопротивление столь велико, что в них происходит такого рода движение, называются апериодическими гальванометрами. Они полезны во многих экспериментах, но особенно при телеграфной связи, где существование свободных колебаний могло бы совершенно замаскировать те движения, которые предполагается обнаруживать.

Какими бы ни были значения 𝑘 и ω, величина 𝑎 (показание шкалы в точке равновесия) может быть выведена из пяти показаний шкалы 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡, взятых через равные промежутки времени по формуле

𝑎

=

𝑞(𝑟𝑠-𝑞𝑡)+𝑟(𝑝𝑡+𝑟²)+𝑠(𝑞𝑟-𝑝𝑠)

(𝑝-2𝑞+𝑟)(𝑟-2𝑠+𝑡)-(𝑞+2𝑟+𝑠)²

.

О наблюдениях с гальванометром

742. Для измерения постоянного тока с помощью тангенс-гальванометра прибор устанавливается таким образом, чтобы плоскость его катушек была параллельна магнитному меридиану, и снимается нулевое показание шкалы. После этого через катушки пропускается ток и наблюдается отклонение магнита, соответствующее его новому положению равновесия. Обозначим его через φ.

Тогда, если 𝐻 есть горизонтальная магнитная сила, 𝐺 - коэффициент гальванометра, а γ - сила тока, то

γ

=

𝐻

𝐺

tg φ

.

(1)

Если коэффициент кручения нити подвеса равен τ𝑀𝐻 (см. п. 452). то мы должны пользоваться уточнённой формулой

γ

=

𝐻

𝐺

(tg φ + τφsec φ)

.

(2)