Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

(1). Показания шкалы в стационарных точках. Они называются элонгациями.

(2). Моменты прохождения определённого деления шкалы в положительном или отрицательном направлении.

(3). Показания шкалы в определённые моменты времени. Подобного рода наблюдения проводятся редко, лишь в случае колебаний с большим периодом ².

² См. Gauss and W. Weber, Resultate des magnetischen Vereins, 1836. Chap. II, p. 34-50.

Мы должны определить следующие величины:

(1). Показание шкалы в положении равновесия.

(2) Логарифмический декремент колебаний.

(3). Время одного колебания.

Как определить показание шкалы в положении равновесия через три последовательные элонгации

735. Допустим, мы засекли три показания шкалы 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, соответствующие элонгациям 𝑋, 𝑌, 𝑍, и пусть 𝑎 -показание в положении равновесия 𝑆, а 𝑟₁, -значение величины 𝑆𝐵, тогда

𝑥₁-𝑎

=

𝑟₁

sin α

,

𝑥₂-𝑎

=

𝑟₁

sin α

𝑒

^{-π ctg α}

,

𝑥₃-𝑎

=

𝑟₁

sin α

𝑒

^{-2π ctg α}

.

Из этих величин мы находим

(𝑥₁-𝑎)

(𝑥₃-𝑎)

=

(𝑥₂-𝑎)²

Откуда

𝑎

=

𝑥₁𝑥₃+𝑥₂²

𝑥₁+𝑥₃-2𝑥₂

.

Если 𝑥₃ не очень сильно отличается от 𝑥₁, мы можем пользоваться приближённой формулой

𝑎

=

¼(𝑥₁+2𝑥₂+𝑥₃)

.

Как найти логарифмический декремент

736. Логарифмическим декрементом называется логарифм отношения амплитуды какого-либо колебания к амплитуде следующего за ним колебания. Если мы обозначим это отношение через ρ:

ρ

=

𝑥₁-𝑥₂

𝑥₃-𝑥₂

,

𝐿

=

lg ρ

,

λ

=

ln ρ

,

то величина 𝐿 называется обычным логарифмическим декрементом, а величина λ - неперовским логарифмическим декрементом. Очевидно, что λ=𝐿 ln 10=π ctg α.

Следовательно, α=arcctg(λ/π) определяет угол логарифмической спирали.

Для определения величины λ нужно позволить телу совершить значительное число колебаний. Если 𝑐₁ - амплитуда первого, а 𝑐_𝑛 - амплитуда 𝑛 -го колебания, то

λ

=

1

𝑛-1

ln

⎛

⎜

⎝

𝑐₁

𝑐_𝑛

⎞

⎟

⎠

.

Если мы предположим, что точность наблюдений при малых и при больших колебаниях одинакова, то для получения наилучшего значения λ мы должны были бы дать возможность затухать колебаниям до тех пор, пока отношение 𝑐₁ к 𝑐_𝑛 не станет приближённо равным основанию натуральных логарифмов 𝑒. Это даёт для 𝑛 значение ближайшего к (1/λ)+1 целого числа.

Поскольку, однако, в большинстве случаев время дорого, то лучше провести другую серию наблюдений, не дожидаясь такого значительного уменьшения амплитуды.

737. В некоторых случаях может оказаться, что мы должны определить положение равновесия по двум соседним элонгациям, когда логарифмический декремент известен из специально проведённого опыта. Тогда мы имеем

𝑎

=

𝑥₁+𝑒^λ𝑥₂

1+𝑒^λ

.

Время одного колебания

738. После определения показания шкалы, соответствующего точке равновесия, в эту точку шкалы или как можно ближе к ней помещается хорошо различимая метка и для нескольких последовательных колебаний замечаются моменты прохождения этой метки.

Допустим, что метка смещена в положительном направлении от точки равновесия на неизвестное, но очень малое расстояние 𝑥, и пусть 𝑡₁ - зарегистрированный момент времени первого прохождения метки в положительном направлении, а 𝑡₂, 𝑡₃, … - моменты последующих прохождений.

Если 𝑇 - время одного колебания (полупериод), а 𝑃₁, 𝑃₂, 𝑃₃, … - моменты прохождения точки истинного равновесия, то

𝑡₁

=

𝑃₁

+

𝑥

𝑣₁

,

𝑡₂

=

𝑃₂

+

𝑥

𝑣₂

,

𝑃₂

-

𝑃₁

=

𝑃₃

-

𝑃₂

=

𝑇,

где 𝑣₁, 𝑣₂, … - последовательные значения скоростей прохождения, которые на очень малых расстояниях 𝑥 мы можем считать постоянными.

Если ρ есть отношение амплитуды какого-либо колебания к амплитуде последующего колебания, то

𝑣₂

=-

1

ρ

𝑣₁

и

𝑥

𝑣₂

=

-ρ

𝑥

𝑣₁

.

Если три прохождения наблюдались в моменты времени 𝑡₁, 𝑡₂, 𝑡₃, мы находим

𝑥

𝑣₁

=

𝑡₁-2𝑡₂+𝑡₃

(ρ+1)²

.

Следовательно, время одного колебания равно

𝑇

=

1

2

(𝑡₃-𝑡₁)

-

1

2

ρ-1

ρ+1

(𝑡₁-2𝑡₂+𝑡₃)

.

Момент второго прохождения истинной точки равновесия равен

𝑃₂

=

1

4

(𝑡₁+2𝑡₂+𝑡₃)

-

1

4

(ρ-1)²

(ρ+1)²

(𝑡₁-2𝑡₂+𝑡₃)

.

Для определения этих трёх величин достаточно трёх прохождений, однако любое большее число прохождений можно скомбинировать по методу наименьших квадратов. Так, для пяти прохождений

𝑇

=

1

10

(2𝑡₅+𝑡₄-𝑡₂-2𝑡₁)

-

-

1

10

(𝑡₁-2𝑡₂+2𝑡₃-2𝑡₄+𝑡₅)

ρ-1

ρ+1

⎛

⎜

⎝

2-

2

1+ρ²

⎞

⎟

⎠

.

Момент третьего прохождения при этом равен

𝑃₃

=

1

8

(𝑡₁+2𝑡₂+2𝑡₃+2𝑡₄+𝑡₅)

-

-

1

8

(𝑡₁-2𝑡₂+2𝑡₃-2𝑡₄+𝑡₅)

(ρ-1)²

(ρ+1)²

.