Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

746. Наилучший способ для проведения значительного числа измерений постоянного тока состоит в том, чтобы наблюдать три элонгации при положительном направлении тока, далее разомкнуть контакт примерно на время одного колебания, с тем чтобы магнит перешёл в положение отрицательного отклонения, затем изменить направление тока на противоположное и наблюдать три последовательные элонгации на отрицательной стороне, далее снова прервать контакт на время одного колебания и повторить наблюдения на положительной стороне и так далее, пока не будет произведено достаточное число наблюдений. При этом исключаются ошибки, которые могут возникнуть из-за изменения направления земной магнитной силы в течение времени наблюдения. Оператор, тщательно следя за временем замыкания и размыкания контакта, может легко регулировать размах колебаний, так чтобы сделать их достаточно малыми, но отчётливо различимыми. Движение магнита графически представлено на рис. 58, где абсцисса соответствует времени, а ордината - отклонению магнита. Если θ₁…θ₆ - наблюдаемые алгебраические значения элонгаций, то отклонение магнита определяется уравнением

8φ

=

θ₁

+

2θ₂

+

θ₃

-

θ₄

-

2θ₅

-

θ₆

.

Метод умножения

747. В некоторых случаях, когда отклонение магнита гальванометра очень мало, может быть целесообразно увеличить визуальный эффект путём изменения направления тока в надлежащие моменты времени, с тем чтобы магнит стал совершать колебательные движения. Для этой цели после установления времени одного колебания магнита в положительном направлении пропускается ток в течение времени 𝑇, а затем в течение равного ему промежутка времени ток пропускается в отрицательном направлении и так далее. Когда движение магнита станет видимым, мы можем менять направление тока в моменты наибольшего отклонения.

Пусть магнит находится в положении крайнего положительного отклонения θ₀ через катушку пропускается ток в отрицательном направлении. Тогда точкой равновесия будет φ, а максимальное отрицательное отклонение магнита θ₁ будет таким, что

-ρ(φ+θ₁)

=

(θ₀+φ)

,

или

-ρθ₁

=

θ₀

+

(ρ+1)φ

.

Аналогично, если теперь ток сделать положительным на то время, пока магнит поворачивается в положение θ₂:

ρθ₂

=-

θ₁

+

(ρ+1)φ

,

или

ρ²θ₂

=

θ₀

+

(ρ+1)²φ

,

и если направление тока меняется на противоположное последовательно 𝑛 раз, мы находим

(-1)

^𝑛

θ

_𝑛

=

ρ

^-𝑛

θ₀

+

ρ+1

ρ-1

(1-ρ

^-𝑛

)φ

,

откуда можно найти φ в виде

φ

=

(θ

_𝑛

-ρ

^-𝑛

θ₀)

ρ-1

1

.

ρ+1

1-ρ

_-𝑛

Если число 𝑛 столь велико, что величиной ρ^-𝑛 можно пренебречь, то это выражение принимает вид

φ

=

ρ-1

ρ+1

.

Для применения этого метода при точных измерениях необходимо точно знать ρ - величину отношения амплитуд двух соседних колебаний, зависящую от сопротивлений, действующих на магнит. Неточности, возникающие из-за того, что трудно избежать неопределённости в значении ρ, обычно перевешивают преимущества больших угловых отклонений. И только когда мы хотим установить существование очень малых токов, создавая с их помощью видимое движение стрелки, этот метод действительно полезен.

Об измерении переходных токов

748. Когда ток длится только в течение небольшой доли времени колебания магнита гальванометра, общее количество электричества, перенесённое током, можно измерить через угловую скорость, сообщённую магниту за время прохождения тока; эту величину можно определить по величине максимального отклонения при первом колебании магнита.

Если мы пренебрежём сопротивлением, которое приводит к затуханию колебаний магнита, исследование становится очень простым.

Пусть γ -сила тока в произвольный момент времени, а 𝑄 - количество электричества, которое он переносит; тогда

𝑄

=

∫

γ

𝑑𝑡

.

(1)

Пусть 𝑀 - магнитный момент, 𝐴 - момент инерции магнита вместе с подвешенной аппаратурой, а θ -угол, который образует магнит с плоскостью катушки; тогда

𝐴

𝑑²θ

𝑑𝑡²

+

𝑀𝐻

sin θ

=

𝑀𝐺γ

cos θ

.

(2)

Если время прохождения тока очень мало, мы можем произвести интегрирование по 𝑡 в течение этого короткого промежутка времени, не принимая во внимание изменение θ, и мы найдём

𝐴

𝑑θ

𝑑𝑡

+

𝑀𝐺

cos θ₀

∫

γ

𝑑𝑡

+

𝐶

=

𝑀𝐺𝑄

cos θ₀

+

𝐶

.

(3)

Отсюда видно, что прохождение заряда 𝑄 создаёт момент количества движения магнита, равный 𝑀𝐺𝑄 cos θ₀, где θ₀ есть значение θ в момент прохождения тока. Если первоначально магнит находился в положении равновесия, мы можем положить θ₀=0, 𝐶=0.

Далее магнит свободно поворачивается и достигает отклонения θ₁. Если сопротивление отсутствует, работа, совершаемая против магнитной силы за время этого перемещения, равна 𝑀𝐻(1-cos θ₁).

Энергия, сообщённая магниту током, равна

1

2

𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑑θ

𝑑𝑡

⎞²

⎟

⎠

.

Приравнивая эти величины, мы находим

⎛

⎜

⎝

𝑑θ

𝑑𝑡

⎞²

⎟

⎠

=

2

𝑀𝐻

𝐴

(1-cos θ₁)

,

(4)

откуда

𝑑θ

𝑑𝑡

=

2

⎛

⎜

⎝

𝑀𝐻

𝐴

⎞½

⎟

⎠

sin ½θ₁

=

𝑀𝐺

𝐴

𝑄

 (согласно (3)).

(5)

Но время 𝑇 одного колебания магнита от состояния покоя до состояния покоя равно

𝑇

=

π

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑀𝐻

⎞½

⎟

⎠

,

(6)

и мы находим

𝑄

=

𝐻

𝐺

𝑇

π

2sin ½θ₁

,

(7)

где 𝐻 - горизонтальная магнитная сила, 𝐺 - коэффициент гальванометра, 𝑇 - время одного колебания и θ₁ - величина первого максимального отклонения магнита.