Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Подставляя это значение в уравнение (6), мы получаем для величины 𝑣:

𝑣²

=

𝑐

𝐿

𝑄𝑅

,

(8)

где 𝑐 - ёмкость конденсатора в электростатической мере, 𝐿 - коэффициент самоиндукции катушки в электромагнитной мере, а 𝑄 и 𝑅 - сопротивления в электромагнитной мере. Значение 𝑣, найденное таким методом, зависит от определения единицы сопротивления, так же как и во втором методе, п. 772, 773.

V. Сопоставление электростатической ёмкости конденсатора с электромагнитной ёмкостью самоиндукции катушки

779. Пусть 𝐶 будет ёмкостью конденсатора, обкладки которого соединены проводом с сопротивлением 𝑅. Пусть в этот провод включены катушки 𝐿 и 𝐿' и пусть 𝐿 обозначает сумму их ёмкостей самоиндукции. Катушка 𝐿' подвешена на двухнитевом подвесе и состоит из двух параллельных витков, расположенных в вертикальной плоскости, между которыми проходит вертикальная ось, несущая магнит 𝑀, ось которого вращается в горизонтальной плоскости между катушками 𝐿𝐿'. Катушка 𝐿, имеющая большой коэффициент самоиндукции, закреплена. Подвешенная катушка 𝐿' защищена от потоков воздуха, вызываемых вращением магнита, путём помещения вращающихся частей внутрь полой оболочки [рис. 64].

Рис. 64

Движение магнита вызывает в катушке токи индукции, которые подвергаются воздействию со стороны магнита, так что плоскость подвешенной катушки отклоняется в направлении вращения магнита. Определим силу индуцированных токов и величину отклонения подвешенной катушки.

Пусть 𝑥 будет заряд электричества на верхней обкладке конденсатора 𝐶, тогда, если 𝐸 есть электродвижущая сила, которая произвела этот заряд, из теории конденсаторов имеем

𝑥

=

𝐶𝐸

.

(1)

Из теории электрических токов мы имеем также

𝑅𝑥̇

=

𝑑

𝑑𝑡

(

𝐿𝑥̇

+

𝑀 cos θ

)+

𝐸

=

0,

(2)

где 𝑀 - электромагнитный импульс контура 𝐿', когда ось магнита перпендикулярна плоскости катушки, а θ - угол между осью магнита и нормалью к этой плоскости.

Уравнение для определения 𝑥, таким образом, следующее:

𝐶𝐿

𝑑²𝑥

𝑑𝑡²

+

𝐶𝑅

𝑑𝑥

𝑑𝑡

+

𝑥

=

𝐶𝑀

sin θ

𝑑θ

𝑑𝑡

.

(3)

Если катушка находится в положении равновесия и если магнит вращается с постоянной угловой скоростью 𝑛, то

θ

=

𝑛𝑡

.

(4)

Выражение для тока состоит из двух частей, одна из которых не зависит от правой части уравнения и убывает со временем по экспоненте. Другая часть, которую можно назвать вынужденным током, целиком определяется членом, содержащим θ, и может быть записана в виде

𝑥

=

𝐴 sin θ

+

𝐵 cos θ

.

(5)

Находя значения 𝐴 и 𝐵 подстановкой в уравнение (3), мы получаем

𝑥

=-

𝑀𝐶𝑛

𝑅𝐶𝑛 cos θ - (1-𝐶𝐿𝑛²)sin θ

𝑅²𝐶²𝑛²+(1-𝐶𝐿𝑛²)²

.

(6)

Момент силы, действующий со стороны магнита на катушку 𝐿', по которой протекает ток 𝑥̇, противоположен моменту, который действовал бы на магнит, если бы катушка была неподвижна, и равен

Θ

=

𝑥̇

𝑑

𝑑θ

(𝑀 cos θ)

=

𝑀 sin θ

𝑑𝑥

𝑑𝑡

.

(7)

Проинтегрировав это выражение по 𝑡 в течение одного оборота и разделив на время, мы получаем для среднего значения

Θ

=

1

2

𝑀²𝑅𝐶²𝑛³

𝑅²𝐶²𝑛²+(1-𝐶𝐿𝑛²)²

.

(8)

Если катушка обладает значительным моментом инерции, её вынужденные колебания будут очень малы, а её среднее отклонение будет пропорционально Θ.

Пусть наблюдаемые отклонения 𝐷₁, 𝐷₂, 𝐷₃ соответствуют угловым скоростям магнита 𝑛₁, 𝑛₂, 𝑛₃; тогда в общем случае

𝑃

𝑛

𝐷

=

⎛

⎜

⎝

1

𝑛

+

𝐶𝐿𝑛

⎞²

⎟

⎠

+

𝑅²𝐶²

,

(9)

где величина 𝑃 - постоянна.

Исключая 𝑃 и 𝑅 из трёх уравнений такого вида, мы находим

𝐶²𝐿²

=

1

𝑛₁²𝑛₂²𝑛₃²

×

×

𝑛₁³

𝐷₁

(𝑛₂²-𝑛₃²)

+

𝑛₂³

𝐷₂

(𝑛₃²-𝑛₁²)

+

𝑛₃³

𝐷₃

(𝑛₁²-𝑛₂²)

𝑛₁

𝐷₁ (𝑛₂²-𝑛₃²) +

𝑛₂

𝐷₂ (𝑛₃²-𝑛₁²) +

𝑛₃

𝐷₃ (𝑛₁²-𝑛₂²)

.

(10)

Если 𝑛₂ таково, что 𝐶𝐿𝑛₂²=1, для этого значения 𝑛 величина 𝑛/𝐷 будет минимальной. Остальные значения 𝑛 следует брать одно больше, а другое меньше чем 𝑛₂.

Величина 𝐶𝐿, определённая из уравнения (10), имеет размерность квадрата времени. Назовём её τ².

Если 𝐶_𝑠 является электростатической мерой ёмкости конденсатора, а 𝐿_𝑚 - электромагнитной мерой самоиндукции катушки, то и 𝐶_𝑠 и 𝐿_𝑚 являются длинами и произведение 𝐶_𝑠𝐿_𝑚 равно

𝐶

_𝑠

𝐿

_𝑚

=

𝑣²𝐶

_𝑠

𝐿

_𝑠

=

𝑣²𝐶

_𝑚

𝐿

_𝑚

=

𝑣²τ²

(11)

и

𝑣²

=

𝐶_𝑠𝐿_𝑚

τ²

,

(12)

где τ² равняется значению 𝐶²𝐿², найденному из этого эксперимента. Эксперимент, предложенный здесь в качестве метода определения 𝑣, имеет ту же сущность, что и эксперимент, описанный сэром У. Р. Гроувом (Sir W. R. Grove, Phil. Mag., March 1868, p. 184). См. также замечания автора настоящего трактата по поводу этого эксперимента в майском номере за 1868 г., стр. 360-363.

VI. Электростатическое измерение сопротивления (см. п. 355)

780. Пусть конденсатор ёмкостью 𝐶 разряжается через проводник с сопротивлением 𝑅, тогда, если 𝑥 - заряд в произвольный момент времени,

𝑥

𝐶

+

𝑅

𝑑𝑥

𝑑𝑡

=

0.

(1)

Следовательно,

𝑥

=

𝑥₀

𝑒

^{-𝑡/(𝑅𝐶)}

.

(2)

Если каким-либо способом мы можем осуществлять контакт на короткий промежуток времени, длительность которого точно известна, так, чтобы позволить току течь через проводник в течение времени 𝑡, и если 𝐸₀ и 𝐸₁ - показания электрометра, соединённого с конденсатором до и после этой операции, то

𝑅𝐶

(ln 𝐸₀-ln 𝐸₁)

=

𝑡.

(3)