Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

783. Определим теперь условия распространения электромагнитных возмущений через однородную среду, которую мы будем считать покоящейся, т.е. не имеющей никакого движения, кроме того, которое может быть включено в электромагнитные возмущения.

Пусть 𝐶 будет удельная проводимость среды, 𝐾 - её удельная ёмкость для электростатической индукции и μ - её магнитная «проницаемость».

Чтобы получить общие уравнения для электромагнитного возмущения, мы должны выразить истинный ток ℭ через вектор-потенциал 𝔄 и электрический потенциал Ψ.

Истинный ток ℭ состоит из тока проводимости ℜ и изменения электрического смещения 𝔇 поскольку оба они зависят от электродвижущей напряжённости 𝔈 мы находим, как в п. 611,

ℭ

=

⎛

⎜

⎝

𝐶

+

1

4π

𝐾

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

𝔈

.

(1)

Поскольку движение среды отсутствует, мы можем выразить электродвижущую напряжённость, как в п. 599:

𝔈

=-

𝔄̇

-

∇Ψ

.

(2)

Следовательно,

ℭ

=-

⎛

⎜

⎝

𝐶

+

1

4π

𝐾

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝔄

𝑑𝑡

+

∇Ψ

⎞

⎟

⎠

.

(3)

Но мы можем определить связь между ℭ и 𝔄 другим способом, как показано в п. 616, приведённые там уравнения (4) можно записать в виде

4πμℭ

=

∇²𝔄

+

∇𝐽

(4)

где

𝐽

=

𝑑𝐹

𝑑𝑥

+

𝑑𝐺

𝑑𝑦

+

𝑑𝐻

𝑑𝑧

.

(5)

Объединяя уравнение (3) и (4), мы получаем

μ

⎛

⎜

⎝

4π𝐶

+

𝐾

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝔄

𝑑𝑡

+

∇Ψ

⎞

⎟

⎠

+

∇²𝔄

+

∇𝐽

=

0,

(6)

что можно выразить в виде следующих трёх уравнений:

μ

⎛

⎜

⎝

4π𝐶

+

𝐾

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐹

𝑑𝑡

+

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

+

∇²𝐹

+

𝑑𝐽

𝑑𝑥

=

0,

μ

⎛

⎜

⎝

4π𝐶

+

𝐾

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐺

𝑑𝑡

+

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

+

∇²𝐺

+

𝑑𝐽

𝑑𝑦

=

0,

μ

⎛

⎜

⎝

4π𝐶

+

𝐾

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐻

𝑑𝑡

+

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

∇²𝐻

+

𝑑𝐽

𝑑𝑧

=

0,

(7)

Это общие уравнения для электромагнитных возмущений.

Если мы продифференцируем эти уравнения по 𝑥, 𝑦 и 𝑧 соответственно и сложим, то получим

μ

⎛

⎜

⎝

4π𝐶

+

𝐾

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐽

𝑑𝑡

-

∇²Ψ

⎞

⎟

⎠

=

0.

(8)

Если среда непроводящая, то 𝐶=0, а член ∇²Ψ, пропорциональный объёмной плотности свободного электричества, не зависит от 𝑡. Следовательно, величина 𝐽 должна быть либо линейной функцией 𝑡, либо постоянной, либо нулём; поэтому при рассмотрении периодических возмущений мы можем не учитывать 𝐽 и Ψ.

Распространение волн в непроводящей среде

784. В этом случае 𝐶=0, и уравнения принимают вид

𝐾μ

𝑑²𝐹

𝑑𝑡²

+

∇²𝐹

=

0,

𝐾μ

𝑑²𝐺

𝑑𝑡²

+

∇²𝐺

=

0,

𝐾μ

𝑑²𝐻

𝑑𝑡²

+

∇²𝐻

=

0.

(9)

В этом виде уравнения сходны с уравнениями движения несжимаемого упругого твёрдого тела, и при заданных начальных условиях их решение можно выразить в форме, данной Пуассоном ² и применённой Стоксом ³ к теории дифракции.

² Мéт. de l’Acad., t. III, p. 130, et seq.

³Cambridge Transactions, vol. IX, p. 1-62 (1849).

Запишем

𝑉

=

1

√𝐾μ

(10)

Если значения 𝐹, 𝐺, 𝐻 и 𝑑𝐹/𝑑𝑡, 𝑑𝐺/𝑑𝑡, 𝑑𝐻/𝑑𝑡 заданы в каждой точке пространства в момент (𝑡=0), то мы можем определить их значения в любой последующий момент времени следующим образом.

Пусть 𝑂 будет точка, в которой мы желаем определить 𝐹 в момент времени 𝑡. Опишем сферу с центром в точке 𝑂 и радиусом 𝑉𝑡. Найдём начальное значение 𝐹 в каждой точке сферической поверхности и возьмём среднее от всех этих значений 𝐹. Найдём также начальные значения 𝑑𝐹/𝑑𝑡 в каждой точке сферической поверхности, и пусть среднее от всех этих значений будет 𝑑𝐹/𝑑𝑡.

Тогда значение 𝐹 в точке 𝑂 в момент времени 𝑡 будет равно:

𝐹

=

𝑑

𝑑𝑡

(

𝐹

𝑡)

+

𝑡

𝑑𝐹

𝑑𝑡

.

⎫

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎭

Аналогично

𝐺

=

𝑑

𝑑𝑡

(

𝐺

𝑡)

+

𝑡

𝑑𝐺

𝑑𝑡

,

𝐻

=

𝑑

𝑑𝑡

(

𝐻

𝑡)

+

𝑡

𝑑𝐻

𝑑𝑡

.

(11)

785. Таким образом, оказывается, что картина в точке 𝑂 в произвольный момент времени зависит от той картины, которая имела место на расстоянии 𝑉𝑡 в момент времени, предшествующий рассматриваемому и отделённому от него интервалом 𝑡, т.е. любое возмущение распространяется через среду со скоростью 𝑉.

Предположим, что, когда 𝑡 равно нулю, величины 𝔄 и 𝔄̇ равны нулю везде, за исключением некоторого объёма 𝑆. Тогда их значения в точке 𝑂 в момент времени 𝑡 будут равны нулю, если только сферическая поверхность с центром в точке 𝑂 и радиусом 𝑉𝑡 не лежит целиком или частично внутри объёма 𝑆. Если 𝑂 находится вне объёма 𝑆, возмущений в точке 𝑂 не будет до тех пор, пока 𝑉𝑡 не станет равным кратчайшему расстоянию от 𝑂 до объёма 𝑆. Тогда в точке 𝑂 возникнет возмущение и будет продолжаться до тех пор, пока 𝑉𝑡 не станет равным максимальному расстоянию от 𝑂 до произвольной части 𝑆. В этот момент возмущение в 𝑂 прекратится навсегда.

786. Величина 𝑉 в п. 784, выражающая скорость распространения электромагнитных возмущений в непроводящей среде, в соответствии с уравнением (10) равна 1/√𝐾μ.

Если средой является воздух и мы примем электростатическую систему измерений, то 𝐾=1, а μ=1/𝑣² так что 𝑉=𝑣, т.е. скорость распространения численно равна числу электростатических единиц электричества в одной электромагнитной единице. Если мы примем электромагнитную систему, то 𝐾=1/𝑣², а μ=1, так что уравнение 𝑉=𝑣 по-прежнему остаётся верным.