Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

794. При расчёте (основанном на данных обычных электромагнитных экспериментов) электрических явлений, возникающих в результате периодических возмущений и происходящих миллионы миллионов раз в секунду, мы уже подвергли нашу теорию очень серьёзной проверке, даже в предположении, что средой является воздух или вакуум. Но если мы попытаемся расширить нашу теорию на случай плотных сред, то будем вовлечены не только во все обычные трудности молекулярной теории, но и в более глубокую тайну связи свойств молекул со свойствами электромагнитной среды.

Во избежание этих трудностей мы будем предполагать, что в некоторых средах удельная способность для электростатической индукции различна в разных направлениях, или, другими словами, электростатическая индукция, вместо того чтобы быть пропорциональной электродвижущей напряжённости и направленной в ту же сторону, связана с ней системой линейных уравнений, аналогичных тем, которые даны в п. 297. Можно показать, как и в п. 436, что система коэффициентов должна быть симметричной, так что при соответствующем выборе осей, уравнения принимают вид

𝑓

=

1

4π

𝐾₁𝑃

,

𝑔

=

1

4π

𝐾₂𝑄

,

ℎ

=

1

4π

𝐾₃𝑅

,

(1)

где 𝐾₁, 𝐾₂ и 𝐾₃ - главные индуктивные способности среды. Поэтому уравнения распространения возмущений следующие:

𝑑²𝐹

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝐹

𝑑𝑧²

-

𝑑²𝐺

𝑑𝑥𝑑𝑦

-

𝑑²𝐻

𝑑𝑧𝑑𝑥

=

𝐾₁μ

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝐹

𝑑𝑡²

+

𝑑²Ψ

𝑑𝑥𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

,

⎫

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎭

𝑑²𝐺

𝑑𝑧²

+

𝑑²𝐺

𝑑𝑥²

-

𝑑²𝐻

𝑑𝑦𝑑𝑧

-

𝑑²𝐹

𝑑𝑥𝑑𝑦

=

𝐾₂μ

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝐺

𝑑𝑡²

+

𝑑²Ψ

𝑑𝑦𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

,

𝑑²𝐻

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝐻

𝑑𝑦²

-

𝑑²𝐹

𝑑𝑧𝑑𝑥

-

𝑑²𝐺

𝑑𝑦𝑑𝑧

=

𝐾₃μ

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝐻

𝑑𝑡²

+

𝑑²Ψ

𝑑𝑧𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

.

(2)

795. Если 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали к волновому фронту, а 𝑉 - скорость волны, причём

𝑙𝑥

+

𝑚𝑦

+

𝑛𝑧

-

𝑉𝑡

=

𝑤

,

(3)

и если мы обозначим через 𝐹'', 𝐺'', 𝐻'', Ψ'' вторые производные по 𝑤 от 𝐹, 𝐺, 𝐻, Ψ соответственно и положим

𝐾₁μ

=

1

𝑎²

,

𝐾₂μ

=

1

𝑏²

,

𝐾₃μ

=

1

𝑏²

,

(4)

где 𝑎, 𝑏, 𝑐 - три главные скорости распространения, то уравнения становятся следующими:

⎛

⎜

⎝

𝑚²

+

𝑛²

-

𝑉²

𝑎²

⎞

⎟

⎠

𝐹''

-

𝑙𝑚𝐺''

-

𝑛𝑙𝐻''

+

𝑉Ψ''

𝑙

𝑎²

=

0,

⎫

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎭

-

𝑙𝑚𝐹''

+

⎛

⎜

⎝

𝑛²

+

𝑙²

-

𝑉²

𝑏²

⎞

⎟

⎠

𝐺''

-

𝑚𝑛𝐻''

+

𝑉Ψ''

𝑚

𝑏²

=

0,

-

𝑛𝑙𝐹''

-

𝑚𝑛𝐺''

+

⎛

⎜

⎝

𝑙²

+

𝑚²

-

𝑉²

𝑐²

⎞

⎟

⎠

𝐻''

+

𝑉Ψ''

𝑛

𝑐²

=

0.

(5)

796. Если мы обозначим

𝑙

𝑉²-𝑎²

+

𝑚

𝑉²-𝑏²

+

𝑛

𝑉²-𝑐²

=

𝑈,

(6)

то из этих уравнений получим

𝑉𝑈

(𝑉𝐹''-𝑙Ψ)

=

0,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑉𝑈

(𝑉𝐺''-𝑚Ψ)

=

0,

𝑉𝑈

(𝑉𝐻''-𝑛Ψ)

=

0.

(7)

Отсюда либо 𝑉=0 - в этом случае волна вообще не распространяется, либо 𝑈=0, что приводит для 𝑉 к уравнению, данному Френелем, либо величины, стоящие в скобках, обращаются в нуль, и в этом случае вектор с компонентами 𝐹'', 𝐺'', 𝐻'' нормален к волновому фронту и пропорционален объёмной плотности электричества. Поскольку среда является непроводником, плотность электричества в любой данной точке постоянна и, следовательно, возмущения, определяемые этими уравнениями, являются непериодическими и не могут образовать волну. Мы можем поэтому при исследовании волны положить Ψ=0.

797. Скорость распространения волны, таким образом, полностью определяется уравнением 𝑈=0, или

𝑙

𝑉²-𝑎²

+

𝑚

𝑉²-𝑏²

+

𝑛

𝑉²-𝑐²

=

0.

(8)

Имеются два, и только два, значения 𝑉², соответствующих данному направлению волнового фронта.

Если λ, μ, ν являются направляющими косинусами электрического тока с составляющими 𝑢, 𝑣, 𝑤, то

λ

:

μ

:

ν

::

1

𝑎²

𝐹''

:

1

𝑏²

𝐺''

:

1

𝑐²

𝐻''

.

(9)

Тогда

𝑙λ

+

𝑚μ

+

𝑛ν

=

0,

(10)

т.е. ток лежит в плоскости волнового фронта и его направление в волновом фронте определяется уравнением

𝑙

λ

(𝑏²-𝑐²)

+

𝑚

μ

(𝑐²-𝑎²)

+

𝑛

ν

(𝑎²-𝑏²)

=

0.

(11)

Эти уравнения совпадают с уравнениями, данными Френелем, если мы определим плоскость поляризации как плоскость, проходящую через луч перпендикулярно плоскости электрического возмущения.

Согласно этой электромагнитной теории двойного преломления волна продольного возмущения, которая представляет одну из основных трудностей обычной теории, не существует и не требуется никакого нового предположения для того, чтобы учесть тот факт, что луч, поляризованный в главной плоскости кристалла, преломляется обычным образом ⁵.

⁵ Стокс «Доклад о двойном преломлении»; Brit. Assoc. Report, 1862, p. 253.

Связь между электрической проводимостью и непрозрачностью

798. Если среда вместо того, чтобы быть идеальным изолятором, является проводником, проводимость которого на единицу объёма равна 𝐶, возмущение будет состоять не только из электрических смещений, но и из токов проводимости, в которых энергия преобразуется в тепло, так что волновое движение поглощается средой.

Если возмущение выражается периодической функцией, мы можем записать

𝐹

=

𝑒

^-𝑝𝑧

cos(𝑛𝑡-𝑞𝑧)

,

(1)

так как это удовлетворяет уравнению

𝑑²𝐹

𝑑𝑧²

=

μ𝐾

𝑑²𝐹

𝑑𝑡²

+

4πμ𝐶

𝑑𝐹

𝑑𝑡

(2)

при условии, что

𝑞²-𝑝²

=

μ𝐾𝑛²

(3)

и

2𝑝𝑞

=

4πμ𝐶𝑛

(4)

Скорость распространения равна

𝑉

=

𝑛

𝑞

,

(5)

а коэффициент поглощения равен

𝑝

=

2πμ𝐶𝑉

.

(6)

Пусть 𝑅 будет в электромагнитной мере сопротивлением пластинки длиной 𝑙, шириной 𝑏 и толщиной 𝑧:

𝑅

=

𝑙

𝑏𝑧𝐶

.

(7)

Доля падающего света, пропускаемая этой пластинкой, равна

-4πμ

𝑙

𝑏

𝑉

𝑅

𝑒

^-2𝑝𝑧

=

𝑒

.

(8)

799. Наиболее прозрачные твёрдые тела являются хорошими изоляторами, а все хорошие проводники весьма непрозрачны. Имеется, однако, много исключений из правила, гласящего, что чем больше непрозрачность тела, тем больше его проводимость.