Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

₁

𝑑𝑇_𝑞̇

𝑑𝑞̇₁

+

𝑞̇

₂

𝑑𝑇_𝑞̇

𝑑𝑞̇₂

+…

⎞

⎟

⎠

,

(23)

откуда видно, что 𝑇_𝑞̇ есть однородная функция вторых степеней скоростей 𝑞̇₁,𝑞̇₂,….

Если мы запишем

𝑃

₁₁

 вместо

𝑑²𝑇_𝑞̇

𝑑𝑞̇₁²

 ,

𝑃

₁₂

 вместо

𝑑²𝑇_𝑞̇

𝑑𝑞̇₁𝑑𝑞̇₂

 , …

и

𝑄

₁₁

 вместо

𝑑²𝑇_𝑝

𝑑𝑝₁²

 ,

𝑄

₁₂

 вместо

𝑑²𝑇_𝑞̇

𝑑𝑝₁𝑑𝑝₂

 , … ,

то, поскольку 𝑇_𝑞̇ и 𝑇_𝑝 являются функциями второй степени 𝑞̇ и 𝑝 соответственно, 𝑄 и 𝑃 должны быть функциями только переменных 𝑞 и не зависеть от скоростей и импульсов. Таким образом, мы получаем выражения для 𝑇:

2𝑇

_𝑞̇

=

𝑃

₁₁

𝑞̇

₁

²

+

𝑃

₁₂

𝑞̇

₁

𝑞̇

₂

+…,

(24)

2𝑇

_𝑝

=

𝑄

₁₁

𝑝

₁

²

+

𝑄

₁₂

𝑝

₁

𝑝

₂

+….

(25)

Импульсы выражаются через скорости с помощью линейных уравнений

𝑝

₁

=

𝑃

₁₁

𝑞̇

₁

+

𝑃

₁₂

𝑞̇

₂

+…,

(26)

и скорости выражаются через импульсы с помощью линейных уравнений

𝑞̇

₁

=

𝑄

₁₁

𝑝

₁

+

𝑄

₁₂

𝑝

₂

+….

(27)

В трактатах по динамике твёрдого тела коэффициенты, соответствующие величинам 𝑃₁₁, т.е. имеющие одинаковые индексы, называются моментами инерции, а коэффициенты, соответствующие величинам 𝑃₁₂, в которых индексы различны, называются произведениями инерции. Мы можем распространить эти названия и на более общую задачу, которая в настоящее время стоит перед нами и в которой эти величины, в отличие от случая твёрдого тела, не являются абсолютными константами, а зависят от переменных 𝑞₁,𝑞₂,….

Подобным же образом мы можем назвать коэффициенты типа 𝑄₁₁ моментами подвижности, а коэффициенты типа 𝑄₁₂ - произведениями подвижности. Однако нам не часто представится возможность говорить об этих самых коэффициентах подвижности.

566. Кинетическая энергия системы является величиной, существенно положительной или равной нулю. Отсюда следует, что коэффициенты должны быть такими, чтобы никакие вещественные значения переменных величин не могли бы сделать энергию отрицательной, независимо от того, выражена ли она через скорости или через импульсы.

Таким образом, существует целый набор необходимых условий, которым должны удовлетворять значения коэффициентов 𝑃. Эти условия следующие.

Все величины 𝑃₁₁,𝑃₁₂,… должны быть положительны.

Все (𝑛-1) определителей, которые последовательно получаются из детерминанта

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

𝑃

₁₁

,

𝑃

₁₂

,

𝑃

₁₃

,

…

𝑃

_1𝑛

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

𝑃

₂₁

,

𝑃

₂₂

,

𝑃

₂₃

,

…

𝑃

_2𝑛

𝑃

₃₁

,

𝑃

₃₂

,

𝑃

₃₃

,

…

𝑃

_3𝑛

…

…

…

…

…

𝑃

_𝑛1

,

𝑃

_𝑛2

,

𝑃

_𝑛3

,

…

𝑃

_3𝑛

путём убирания членов, содержащих индекс 1, затем членов, содержащих индекс 1 или 2, и т.д., должны быть положительны.

Число условий для 𝑛 переменных равно, таким образом, 2𝑛-1.

Коэффициенты 𝑄 подчиняются условиям того же вида.

567. В этой сводке основных принципов динамики системы со связями мы оставили вне поля зрения сам механизм, при помощи которого связаны различные части системы. Мы даже не выписали систему уравнений, показывающих зависимость движения какой-либо части системы от изменения переменных, и ограничили наше внимание лишь рассмотрением переменных, их скоростей, импульсов, а также сил, действующих на описываемые этими переменными части системы. Единственные принятые нами допущения состоят в том, что система имеет только такие связи, в уравнения для которых время не входит явно, и что к системе применим принцип сохранения энергии.

Такое изложение методов чистой динамики не является излишним. Лагранж и большинство его последователей, которым мы обязаны этим методам, как правило, ограничивались лишь их демонстрацией, и, чтобы полностью сосредоточиться на рассматриваемых ими символах, они попытались исключить все понятия, кроме понятия чистой величины; они не только обходились без графических представлений, но избавились даже от понятий скорости, импульса и энергии, заменив их раз и навсегда просто символами в исходных уравнениях.

Развитие идей и методов чистой математики позволило, создав математическую теорию динамики, пролить свет на многие истины, открытие которых было бы невозможно без математической подготовки. И если нам предстоит построение динамической теории для других областей науки, мы должны проникнуться в равной мере и математическими методами, и этими динамическими истинами.

Образуя понятия и составляя терминологию в какой-либо науке, которая, подобно науке об электричестве, имеет дело с силами и их проявлениями, мы непременно должны руководствоваться идеями, присущими фундаментальной науке динамике. И тогда на начальной стадии развития этой науки нам удастся избежать несоответствия с уже установленными утверждениями, а после обретения более ясного понимания принятый нами язык может сослужить нам пользу, а не быть помехой.

ГЛАВА VI

ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА