Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

571. Пусть система состоит из проводящих контуров, форма и положение которых определяются значениями переменных 𝑥₁,𝑥₂,…; их число равно числу степеней свободы системы.

Если бы вся кинетическая энергия системы была обусловлена движением этих проводников, она выражалась бы формулой

𝑇

=

1

2

(𝑥

₁

𝑥

₁

)

𝑥̇

₁

²

+…+

(𝑥

₁

𝑥

₂

)

𝑥̇

₁

𝑥̇

₂

+…,

где символы (𝑥₁𝑥₁),… обозначают величины, которые мы назвали моментами инерции, а (𝑥₁𝑥₂),… обозначают произведения инерции.

Если 𝑋' - приложенная сила (стремящаяся увеличить координату 𝑥), необходимая для осуществления истинного движения, то, согласно уравнению Лагранжа,

𝑑

𝑑𝑥

𝑑𝑇

𝑑𝑥̇

-

𝑑𝑇

𝑑𝑥

=

𝑋'

.

Когда 𝑇 обозначает энергию, обусловленную только видимым движением, мы будем отмечать её нижним индексом _𝑚, т.е. как 𝑇_𝑚.

Но в системе проводников, несущих электрические токи, часть кинетической энергии обусловлена существованием этих токов. Пусть движение электричества, а также всего того, чьим движением оно управляет, определяется другим набором координат 𝑦₁,𝑦₂,…; тогда 𝑇 будет однородной функцией квадратов и произведений всех скоростей двух наборов координат. Мы, таким образом, можем разделить 𝑇 на три части, в первой из которых 𝑇_𝑚 встречаются только скорости координат 𝑥, во второй 𝑇_𝑒 - только скорости координат 𝑦, а в третьей 𝑇_𝑚𝑒 каждый член содержит произведение скоростей двух координат, одной из которых является 𝑥, а второй - 𝑦.

Таким образом, мы имеем

𝑇

=

𝑇

_𝑚

+

𝑇

_𝑒

+

𝑇

_𝑚𝑒

 ,

где

𝑇

_𝑚

=

1

2

(𝑥

₁

𝑥

₁

)

𝑥̇

₁

²

+…+

(𝑥

₁

𝑥

₂

)

𝑥̇

₁

𝑥̇

₂

+…,

𝑇

_𝑒

=

1

2

(𝑦

₁

𝑦

₁

)

𝑦̇

₁

²

+…+

(𝑦

₁

𝑦

₂

)

𝑦̇

₁

𝑦̇

₂

+…,

𝑇

_𝑚𝑒

=

(𝑥

₁

𝑦

₁

)

𝑥̇

₁

𝑦̇

₁

+….

572. В общей динамической теории коэффициенты перед каждым членом могут быть функциями всех координат, как 𝑥, так и 𝑦. Однако в случае электрических токов легко увидеть, что координаты класса 𝑦 не входят в коэффициенты.

Действительно, если все электрические токи поддерживаются постоянными, а проводники покоятся, общее состояние поля остаётся неизменным. Но в этом случае координаты 𝑦 переменны, хотя скорости 𝑦̇ постоянны. Следовательно, координаты 𝑦 не могут входить в выражение для 𝑇 или в другие выражения, относящиеся к чему-либо реальному.

Кроме того, согласно уравнению непрерывности, если проводники по своему характеру являются линейными контурами, для выражения силы тока в каждом из них требуется только одна переменная. Пусть скорости 𝑦̇₁,𝑦̇₂,…, представляют собой силы токов в нескольких проводниках.

Всё это оставалось бы верным, и если вместо электрических токов мы имели бы потоки несжимаемой жидкости, текущей в гибких трубах. В этом случае скорости потоков вошли бы в выражение для 𝑇, но коэффициенты зависели бы только от переменных 𝑥, определяющих форму и положение труб.

В случае жидкости её движение в одной трубе не влияет непосредственно на движение любой другой трубы или жидкости в ней. Следовательно, в значение 𝑆_𝑒 входят только квадраты скоростей 𝑦̇, но не их произведения, а в 𝑆_𝑚𝑒 любая скорость 𝑦̇ связана лишь с теми скоростями класса 𝑥̇, которые принадлежат её собственной трубе.

Мы знаем, что в случае электрических токов это ограничение не имеет места, поскольку токи в различных контурах действуют друг на друга. Следовательно, мы должны допустить наличие членов, включающих произведения вида 𝑦̇₁𝑦̇₂, и это предполагает существование чего-то находящегося в движении, которое зависит от силы обоих электрических токов 𝑦̇₁ и 𝑦̇₂ эта движущаяся материя, чем бы она ни оказалась, не находится во внутренних областях проводников, несущих оба тока, а, вероятно, распределена во всём окружающем их пространстве.

573. Рассмотрим далее, какой вид принимают уравнения движения Лагранжа в этом случае. Пусть 𝑋' - приложенная сила, соответствующая координате 𝑥 - одной из тех, которые определяют форму и положение проводящих контуров. Она является силой в обычном смысле, т.е. величиной, определяющей тенденцию к изменению положения и задаваемой уравнением

𝑋'

=

𝑑

𝑑𝑡

𝑑𝑇

𝑑𝑥̇

-

𝑑𝑇

𝑑𝑥

.

Мы можем рассматривать эту силу как сумму трёх частей в соответствии с частями, на которые мы разделили кинетическую энергию системы, различая их с помощью тех же индексов. Таким образом, 𝑋'=𝑋'_𝑚+𝑋'_𝑒+𝑋'_𝑚𝑒.

Часть 𝑋'_𝑚 определяется с помощью обычного динамического метода, и у нас нет необходимости рассматривать её.

Поскольку 𝑇_𝑒 не содержит 𝑥̇ первый член в выражении для 𝑋'_𝑒 равен нулю, и её значение сводится к следующему: 𝑋'_𝑒=-𝑑𝑇_𝑒/𝑑𝑥.

Это есть выражение для механической силы, которую следует приложить к проводнику, чтобы уравновесить электромагнитную силу; оно означает, что сила измеряется скоростью уменьшения чисто электрокинетической энергии, обусловленной изменением координаты 𝑥. Электромагнитная сила 𝑋_𝑒 которая вводит в игру эту внешнюю механическую силу, равна по величине, но противоположна по знаку силе 𝑋'_𝑒 и измеряется, следовательно, скоростью увеличения электрокинетической энергии, соответствующей увеличению координаты 𝑥. Поскольку значение 𝑋_𝑒 зависит от квадратов и произведений токов, оно остаётся тем же самым, если поменять направления всех токов на обратные.

Третья часть 𝑋' равна

𝑋'

_𝑚𝑒

=

𝑑

𝑑𝑡

𝑑𝑇_𝑚𝑒

𝑑𝑥̇

-