Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

𝑞̇

,

(4)

Пусть система движется произвольным образом, подчиняясь наложенным на неё связям, тогда вариации 𝑝 и 𝑞 будут равны

δ𝑝

=

𝑑𝑝

𝑑𝑡

δ𝑡

,

δ𝑞

=

𝑞̇

δ𝑡

.

(5)

Отсюда

𝑑𝑇_𝑝

𝑑𝑝

δ𝑝

=

𝑑𝑝

𝑑𝑡

𝑞̇

δ𝑡

, =

𝑑𝑝

𝑑𝑡

δ𝑞

,

(6)

а полная вариация 𝑇_𝑝 равна

δ𝑇

_𝑝

=

∑

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑇_𝑝

𝑑𝑝

δ𝑝

+

𝑑𝑇_𝑝

𝑑𝑞

δ𝑞

⎞

⎟

⎠

,

=

∑

⎛

⎜

⎝

⎧

⎪

⎩

𝑑𝑝

𝑑𝑡

+

𝑑𝑇_𝑝

𝑑𝑞

⎫

⎪

⎭

δ𝑞

⎞

⎟

⎠

.

(7)

Но приращение кинетической энергии появляется за счёт работы, совершаемой приложенными силами, т.е.

δ𝑇

_𝑝

=

(

∑

δ𝑞

).

(8)

Вариации δ𝑞, входящие в эти два выражения, независимы, и мы вправе приравнять в (7) и (8) коэффициенты при них. В результате получаем

𝐹

_𝑟

=

𝑑𝑝

_𝑟

+

𝑑𝑇

_𝑝

,

𝑑𝑡

𝑑𝑞

_𝑟

(9)

где импульс 𝑝_𝑟 и сила 𝐹_𝑟, относятся к переменной 𝑞_𝑟.

Уравнений такого вида существует столько же, сколько и переменных. Эти уравнения получены Гамильтоном. Они показывают, что сила, соответствующая какой-либо переменной, представляется в виде суммы двух частей. Первая есть скорость увеличения во времени импульса, относящегося к данной переменной. Вторая часть есть скорость увеличения кинетической энергии, приходящейся на единицу приращения данной переменной при условии, что другие переменные, а также все импульсы остаются постоянными.

Кинетическая энергия, выраженная через импульсы и скорости

562. Пусть 𝑝₁,𝑝₂,… - импульсы, а 𝑞̇₁,𝑞̇₂,… - скорости в данный момент времени, и пусть p₁,p₂,…, q̇₁,q̇₂,… - другая система импульсов и скоростей, таких, что

p

₁

=𝑛𝑝

₁

,

q̇

₁

=𝑛𝑞̇

₁

,…

(10)

Ясно, что наборы p, q̇ будут совместны друг с другом, если совместны наборы 𝑝, 𝑞̇.

Пусть теперь значение 𝑛 изменяется на δ𝑛. Работа, совершаемая силой 𝐹₁ равна

𝐹

₁

δq

₁

=

q̇

₁

δp

₁

=

𝑞̇

₁

𝑝

₁

𝑛δ𝑛

.

(11)

Если 𝑛 увеличивается от 0 до 1, то система переводится из состояния покоя в состояние движения (𝑞̇,𝑝) и вся работа, затраченная на создание этого движения, равна

(

𝑞̇

₁

𝑝

₁

+

𝑞̇

₂

𝑝

₂

+…)

1

∫

0

𝑛𝑑𝑛

.

(12)

Но

1

∫

0

𝑛𝑑𝑛

=

1

2

,

а работа, затрачиваемая на создание движения, эквивалентна кинетической энергии. Отсюда

𝑇

_𝑝𝑞̇

=

½(

𝑝

₁

𝑞̇

₁

+

𝑝

₂

𝑞̇

₂

+…)

,

(13)

где через 𝑇_𝑝𝑞̇ обозначена кинетическая энергия, выраженная через импульсы и скорости. Переменные 𝑞̇₁,𝑞̇₂,… в это выражение не входят.

Таким образом, кинетическая энергия равна полусумме произведений импульсов на соответствующие скорости.

Выраженную в таком виде кинетическую энергию мы будем обозначать символом 𝑇_𝑝𝑞̇ Она является функцией только импульсов и скоростей и не включает в себя сами переменные.

563. Существует и третий метод представления кинетической энергии, который обычно рассматривается как основной. Решая уравнения (3), мы можем выразить импульсы через скорости, а затем, вводя эти величины в (13), получим выражение для 𝑇, содержащее только скорости и переменные. Когда энергия 𝑇 выражена в этом виде, мы будем отмечать её символом 𝑇_𝑞̇. Именно в таком представлении кинетическая энергия фигурирует в уравнениях Лагранжа.

564. Ясно, что поскольку 𝑇_𝑝, 𝑇_𝑞̇ и 𝑇_𝑝𝑞̇ - представляют собой три различных выражения для одной и той же величины, то

𝑇

_𝑝

+

𝑇

_𝑞̇

-

2𝑇

_𝑝𝑞̇

=0

, или

𝑇

_𝑝

+

𝑇

_𝑞̇

-

𝑝

₁

𝑞̇

₁

-

𝑝

₂

𝑞̇

₂

-…

=0.

(14)

Отсюда, если варьируются все величины 𝑝, 𝑞, и 𝑞̇, то

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑇_𝑝

𝑑𝑝₁

-

𝑞̇

₁

⎞

⎟

⎠

δ𝑝

₁

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑇_𝑝

𝑑𝑝₂

-

𝑞̇

₂

⎞

⎟

⎠

δ𝑝

₁

+…

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑇_𝑞̇

𝑑𝑞̇₁

-

𝑝

₁

⎞

⎟

⎠

δ𝑞̇

₁

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑇_𝑞̇

𝑑𝑞̇₂

-

𝑝

₂

⎞

⎟

⎠

δ𝑞̇

₂

+…

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑇_𝑝

𝑑𝑝₁

+

𝑑𝑇_𝑞̇

𝑑𝑞₁

⎞

⎟

⎠

δ𝑞

₁

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑇_𝑝

𝑑𝑝₂

+

𝑑𝑇_𝑞̇

𝑑𝑞₂

⎞

⎟

⎠

δ𝑞

₂

+…

=0.

(15)

Вариации δ𝑝 не являются независимыми от вариаций δ𝑞 и δ𝑞̇, так что мы не можем сразу утверждать, что коэффициент при каждой вариации в этом уравнении равен нулю. Но из уравнений (3) мы знаем, что

𝑑𝑇_𝑝

𝑑𝑝₁

-

𝑞̇

₁

=0,

…,

(16)

и поэтому члены, содержащие вариации δ𝑝, исчезают сами по себе.

Теперь уже все оставшиеся вариации δ𝑞 и δ𝑞̇ независимы, так что, приравнивая нулю коэффициенты при δ𝑞̇₁ и т.д., мы находим

𝑝

₁

=

𝑑𝑇_𝑞̇

𝑑𝑞̇₁

,

𝑝

₂

=

𝑑𝑇_𝑞̇

𝑑𝑞̇₂

,

…,

(17)

или составляющие импульса равны производным от 𝑇_𝑞̇ по соответствующим скоростям.

Далее, приравнивая нулю коэффициенты при δ𝑞₁,…,

𝑑𝑇_𝑝

𝑑𝑞₁

+

𝑑𝑇_𝑞̇

𝑑𝑞₁

=

0,

(18)

или производная от кинетической энергии, выраженная как функция скоростей, равна по величине и противоположна по знаку производной от энергии 𝑇, выраженной как функция импульсов.

В силу уравнения (18) мы можем записать уравнение движения (9) так:

𝐹

₁

=

𝑑𝑝

₁

-

𝑑𝑇

_𝑞̇

,

𝑑𝑡

𝑑𝑞

₁

(19)

или

𝐹

₁

=

𝑑

𝑑𝑡

𝑑𝑇_𝑞̇

𝑑𝑞̇₁

-

𝑑𝑇_𝑞̇

𝑑𝑞₁

(20)

Уравнения движения в такой форме были даны Лагранжем.

565. В предыдущих исследованиях мы избегали рассмотрения вида функции, выражающей кинетическую энергию через скорости или импульсы, и приняли для неё единственное явное выражение

𝑇

_𝑝𝑞̇

=

=½(

𝑝

₁

𝑞̇

₁

+

𝑝

₂

𝑞̇

₂

+…)

,

(21)

в котором кинетическая энергия выражена как полусумма произведений каждого импульса на соответствующую ему скорость.

Мы можем выразить скорости через частные производные от 𝑇_𝑝 по импульсам, как и в уравнении (3):

𝑇

_𝑝

=

1

2

⎛

⎜

⎝

𝑝

₁

𝑑𝑇_𝑝

𝑑𝑝₁

+

𝑝

₂

𝑑𝑇_𝑝

𝑑𝑝₂

+…

⎞

⎟

⎠

.

(22)

Это показывает, что 𝑇_𝑝 является однородной функцией вторых степеней импульсов 𝑝₁,𝑝₂,….

Мы можем также выразить импульсы через 𝑇_𝑞̇ и найдём

𝑇

_𝑞̇

=

1

2

⎛

⎜

⎝

𝑞̇