Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Язык динамики был значительно расширен теми, кто в популярной форме изложил учение о сохранении энергии. В дальнейшем будет видно, что большая часть последующих утверждений была навеяна нам исследованиями, приведёнными в «Натуральной Философии» Томсона и Тэта, особенно тем методом, который исходит из теории импульсных сил. Я применил этот метод, чтобы отойти от явного рассмотрения движения каких-либо иных частей системы, кроме координат и переменных, определяющих движение всей системы в целом. Важно, конечно, чтобы читатель был в состоянии проследить связь движения каждой из частей системы сдвижением переменных, но нет никакой необходимости делать это по ходу получения окончательных уравнений, не зависящих от конкретного вида этих связей.

Переменные

555. Число степеней свободы системы - это такое число величин, которые должны быть заданы для полного определения положения системы. Этим величинам можно придавать различные формы, но число их определяется только природой самой системы и не может быть изменено.

Для того чтобы конкретизировать принятые нами представления, мы можем вообразить себе некоторую систему, которая при помощи подходящего механизма связана с определённым числом подвижных частей, не способных совершать никаких других движений, кроме прямолинейных. Следует предположить, что этот воображаемый механизм, соединяющий рассматриваемую систему с каждой из подвижных частей, не обладает ни трением, ни инерцией и что под действием приложенных сил он не испытывает деформации. Его назначение состоит лишь в том, чтобы облегчить работу воображения и приписать положение, скорость и импульс тому, что в исследованиях Лагранжа фигурирует в качестве чисто алгебраических величин.

Пусть 𝑞 обозначает положение одной из подвижных частей, определённое через расстояние от некоторой фиксированной точки на линии её движения. Будем отличать величины 𝑞, соответствующие различным частям, с помощью индексов _{1, 2, …}; в случае набора величин, принадлежащих только к одной части системы, этот индекс может быть опущен.

Пусть заданы значения всех переменных (𝑞), тогда положения всех подвижных частей известны и благодаря воображаемому механизму определена конфигурация всей системы.

Скорости

556. Во время движения системы её конфигурация некоторым определённым образом изменяется, и поскольку она в каждый момент времени полностью определяется значениями переменных (𝑞), то скорость каждой части системы, равно как и её конфигурация, также будет определена полностью, если известны значения переменных (𝑞) вместе с их скоростями (𝑑𝑞/𝑑𝑡, или согласно обозначениям Ньютона 𝑞̇).

Силы

557. Распоряжаясь нужным образом движением переменных, можно осуществить любое движение системы, совместимое с характером связей. Для того чтобы произвести это движение перемещением изменяемых частей системы, к ним должны быть приложены силы.

Силу, которую следует приложить к произвольной переменной 𝑞_𝑟, мы обозначим через 𝐹_𝑟. Система сил (𝐹) механически эквивалентна (благодаря наличию связей) той произвольной системе сил, которая в действительности производит движение.

Импульсы

558. Когда тело перемещается, сохраняя неизменной свою конфигурацию по отношению к действующей на него силе (как, например, в случае силы, действующей на одиночную частицу вдоль линии её движения), то движущая сила измеряется скоростью увеличения импульса. Если 𝐹 есть движущая сила, а 𝑝 -импульс, то 𝐹=𝑑𝑝/𝑑𝑡, откуда 𝑝=∫𝐹𝑑𝑡.

Интеграл от силы по времени называется Импульсом силы, поэтому мы можем утверждать, что импульс (количество движения) тела равен импульсу силы, который переводит это тело из состояния покоя в данное состояние движения.

В случае связанной системы, находящейся в движении, её конфигурация непрерывно меняется, причём быстрота этого изменения зависит от скоростей (𝑞̇), и мы не можем уже предполагать, что импульс системы равен интегралу по времени от действующей на него силы.

Но приращение любой переменной δ𝑞 не может превышать 𝑞̇'δ𝑡, где δ𝑡 - время, за которое происходит приращение, а 𝑞̇' - наибольшее значение скорости за это время. Очевидно, что для системы, движущейся из состояния покоя под действием сил одного направления, максимальной является конечная скорость.

Если конечная скорость и конфигурация системы заданы, мы можем представлять себе, что скорость сообщается системе за очень малое время δ𝑡 и что начальная конфигурация отличается от конечной на величины δ𝑞₁,δ𝑞₂,…, которые соответственно меньше величин 𝑞̇₁δ𝑡,𝑞̇₂δ𝑡,….