Центробежные насосы нефтепереработки

Коэффициенты в уравнениях находятся по принципу сложения сил, по которому прогиб в любой точке вала под действием сосредоточенных сил получается в виде суммы прогибов от каждой из силы по отдельности (для прогиба в сечении I находятся и суммируются прогибы от сил Q₁, Q₂, R_C).

Уравнение упругой линии для левой части вала (с – расстояние между правой опорой и точкой приложением силы):

Прогиб в месте приложения груза:

Находится неизвестная реакция опоры R_C для статически неопределимого трехопорного вала (балки). Для нахождения реакции R_C принципом сложения сил отбрасывается средняя опора вала и заменяется направленной снизу вверх реакцией R_C. Так получается статически определимая система, нагруженная 3 силами: известными Q₁ и Q₂ и неизвестной реакцией R_C. Сумма прогибов от каждой силы в точке с равна нулю так как в этой точке находится опора. И из условия равенства нулю прогибов находится реакция R_C.

Прогиб от силы Q₁ в точке с:

Прогиб от силы Q₂ в точке с:

Прогиб от силы R_C в точке с:

Вместо прогибов в формулу подставляются их значения:

Из этоф формулы находится R_c

Находится прогиб в сечении I по известной R_C. Прогиб равен сумме прогибов от сил Q₁, Q₂, R_C

Прогиб в сечении I от силы Q₁ (c = l – a₁)

Прогиб в сечении I от силы R_C (c = l₂и y = a₁)

Подставляя значение R_C

Прогиб в сечении I от силы Q₂ (c = a₂и y = l – a₂)

Суммарный прогиб в сечении

Формула прогиба в сечении I зависит от силы Q₁ и силы Q₂. Группируются члены, содержащие силу Q₁ c получением формулы прогиба в сечении от силы равной Q₁, приложенной в сечении I:

Если в эту формулу вести Q₁ = 1, то формула покажет прогиб в сечении I от единичной силы, приложенной в сечении I:

Если в полученном уравнении Q₂ = 1

если в эту формулу вести Q₂ = 1,

Прогиб в сечении II от силы Q₁

Прогиб в сечении II от силы R_C

Прогиб в сечении II от силы Q₂

Полный прогиб в сечении II

Группируя члены для сил Q₁ и Q₂ и принимая эти силы равными 1:

Теперь решаются уравнения прогибов х₁ и х₂. Коэффициент k₃ заменяется на равный k₂.

Вал совершает гармонические колебания:

Производные этих последних уравнений по времени:

Теперь в полученные ранее формулы для х₁ и х₂ подставляются вторые производные:

После преобразований:

Для определения частоты р необходимо приравнять нулю определитель:

После группировки членов, содержащих р₂ и р₄:

Полученная формула решается для нахождения р²:

В результате решения получаются два значения частот, соответствующих двум возможным формам колебания вала. При первой форме два груза движутся вверх, при второй форме один груз движется вверх, а другой груз движется вниз.

Критические скорости вала:

Аналогично двухпроленому валу находят частоты колебаний для многопролетных неразрезных валов.

__

Критические скорости валов относительно поперечных колебаний

Рассмотрим однопролетный вал с силой, приложенной посередине [14,с.97].

Вал жесткий:

Массой вала пренебрегаем, центр тяжести нагрузки и ось вала не совпадают за счет неточности изготовления и прогиба системы от собственного веса.

При вращении возникает центробежная сила:

Внутренняя сила упругости:

Уравнение прогиба по условию равновесия:

После решения относительно х:

Вводится обозначение:

(р – круговая частота собственных колебаний)

Получается:

Из формулы видно, что при совпадении собственной частоты поперечных колебаний со скоростью вала прогиб стремиться к бесконечности и наступает явление резонанса.

Скорость вала, равная частоте собственных поперечных колебаний, является критической скоростью.

Критическое число оборотов вала:

Нахождение критического числа оборотов вала состоит в задаче нахождения частоты собственных поперечных колебаний.

При скоростях свыше критической, центр тяжести вала устанавливается между точкой эксцентриситета на предыдущем рисунке и недеформированной осью вала.

Гибкий вал:

В этом случае формула изменится на формулу:

т.е. между х и e поменяется знак с «+» на «-».

Из этой формулы:

Из формулы видно, что с ростом скорости за пределом критической частоты прогиб вала стремится выпрямится. В пределе при x = e вал имеет прямую ось.

Лунц указывает [2,с.99] о доказательстве этого положения в работе Фепля и в работе Зоммерфельда.

__

Из формулы видно, что прогиб уменьшается с уменьшением или .

При конструировании вала необходимо уменьшать критическую частоту вала или равную ей частоту собственных поперечных колебаний вала.

Из формулы собственной круговой частоты

видно, что для уменьшения частоты р (равной критической) следует увеличить статическую деформацию вала. То есть сделать вал гибким, число оборотов которого выше резонансной частоты.

Здесь под гибким валом не понимается вал со свободно перемещающимся сечением и осью с двоякой кривизной [14,с.100].

Для изменения жесткости вала изменяют его длину, размеры сечения (инерциальные характеристики).

__

Приведем несколько отличающееся описание выкладок расчета критических оборотов вала в работе Тимошенко [18].