Центробежные насосы нефтепереработки

Результат этого вывода может быть использован конструкторами для упрощения проблем проектирования валов насосов. То есть выполнять расчет поперечных колебаний и расчет крутильных колебаний по отдельности. Для определенных технических целей необходимо выполнение только одного из видов расчетов. Изложенная теория даст более глубокое понимание физики колебаний вала.

Расчет изгибно-крутильных колебаний вала с мешалками по данным [20].

Рассмотрим шарнирно опертый стержень [20,с.200]. Система уравнений распадется на две независимые системы. Уравнение, описывающее только изгибные колебания в плоскости симметрии:

Уравнения, описывающие изгибно-крутильные колебания:

Граничные условия при x = 0 и x = l:

Граничные условия удовлетворяются при:

Собственные частоты определяются из формулы:

Частоты изгибных и крутильных колебаний :

Собственные частоты колебаний:

При a₃ = 0 центр тяжести и центр изгиба совпадают,

Как видно, формулы Тимошенко и по справочнику [19] для определения поперечных и изгибных колебаний почти полностью совпадают.

Однако, Тимошенко указывает о независимости от и необходимости применения метода Релея-Ритца.

Таким образом, для вала как для балки по приведенной выше теории должны быть рассчитаны поперечные колебания, например, для неразрезной балки на трех опорах.

Затем должны быть рассчитаны крутильные колебания. В случае наличия крутильных колебаний, их необходимо определить и проверку прочности выполнить для поперечных и крутильных колебаний.

Метод определения критической скорости по работе Тимошенко [19], где колебания связываются с эксцентриситетом необходимо считать некорректным. Колебания возникнут и при отсутствии эксцентриситета, однако, условия для статической балки и вращающегося вала с учетом эксцентриситета будут отличаться.

Тимошенко указывает о необходимости численного выполнения расчетов колебаний в работе [18]. То есть в том числе маститый специалист признает превосходство численных методов над ручными расчетами.

Расчет валов методом конечных элементов

В динамической задаче воздействие внешних сил является функцией времени. Напряженно-деформированное состояние зависит от времени. Время является дополнительным параметром, усложняющим расчет по сравнению со статическими расчетами.

Уравнения движения динамической системы выводятся с применением принципа Даламбера, на основе принципа возможных перемещений, на основе вариационного принципа Гамильтона.

Метода Даламбера удобно применять для систем с небольшим числом степеней свободы [21,с.486], к которым относятся валы с мешалками. Но вариационный подход Гамильтона является обобщением методов. Поэтому расчет вала с мешалками методом конечных элементов приведем на основе вариационного подхода Гамильтона.

Принцип Гамильтона записывается в форме [21]:

(Т и П – кинетическая и потенциальная энергии, W_ne – силы демпфирования).

Функционал Лагранжа [20]:

Функционал Лагранжа по принципу Гамильтона при возможных перемещениях удовлетворяет условиям совместности и граничным условиям на контуре в течении времени от t₁ до t₂ и имеет стационарное значение.

Начальное положение для вариационной формулировки МКЭ следует при Т = 0 и W_ne = 0:

Введем зависимости для Т, П и W_ne от обобщенных перемещений, скоростей и сил [20]:

После подстановки в интеграл и преобразований получим уравнение движения Лагранжа:

Для конечного элемента объема V [20]

– кинетическая энергия в матричной форме:

– потенциальная энергия (складывающаяся из внутренней энергии деформации, потенциальной энергии внешних объемных и внешних поверхностных сил):

В конечном элементе поле перемещений и деформаций записываются интерполяционными функциями:

Скорость связана с обобщенной скоростью:

Силы демпфирования пропорциональны скоростям (являются неконсервативными):

Обобщенные силы в узлах конечного элемента при допущении о равномерном распределении сил демпфирования в единице объема, записываются формулой:

Формулы для кинетической и потенциальной энергии можно записать после преобразований в виде:

После подстановки записанных формул в первую формулу вариационной формулировки, получается матричная формулировка конечного элемента [20]:

m – матрица масс, c – матрица демпфирования элемента, k – матрица жесткости, Q_e – вектор обобщенных сил в узлах конечного элемента.

В результате составляется уравнение движения системы конечных элементов на основе уравнений движения одного (каждого) конечного элемента [20]: