Цифры врут. Как не дать статистике обмануть себя

Посмотрим на график, чтобы понять, есть ли тут какая-то явная зависимость. Мы видим, что график ползет вверх – если кто-то выше, он, скорее всего, и толще. Это называется позитивной связью (или позитивной корреляцией) – попросту говоря, когда увеличивается одно, другое тоже тяготеет к росту. А если одно растет, а другое уменьшается, то их связь называется негативной. Если точки разбросаны повсюду без ярко выраженной зависимости, мы считаем, что связи нет.

Теперь предположим, что мы хотим провести через точки линию, чтобы показать эту связь. Как это сделать? Можно рисовать на глаз, и даже вполне успешно, но есть более математически точный способ – метод наименьших квадратов.

Предположим, мы нарисовали на графике прямую. Часть точек окажется прямо на ней, но большая часть будет выше или ниже. Расстояние каждой точки до прямой по вертикали – это «ошибка», или «остаток». Возьмем значение каждого остатка и возведем в квадрат (то есть умножим само на себя, что решит проблему отрицательных чисел: число, умноженное само на себя, всегда дает положительный результат), а потом все их сложим. Это число называется остаточной суммой квадратов.

Линия с наименьшей остаточной суммой квадратов называется линией лучшей подгонки. Для приведенного выше графика она будет выглядеть так:

Эта линия позволяет делать прогнозы, и они тем точнее, чем меньше остатки (меньше сумма их квадратов). Если мы измеряем рост и вес любого нового человека, мы ожидаем, что соответствующая точка окажется вблизи этой линии. Зная чей-то рост, мы можем предсказать его вес. Например, судя по графику, 182-сантиметровый человек вероятнее будет весить 76 кг. (Можно действовать и наоборот: зная вес, можно угадать и рост. Но тогда линию надо проводить немного иначе, измеряя ошибки по горизонтали; не стоит сейчас в это углубляться.)

Стоит отметить, что по одному росту трудно точно предсказать вес. Уточнить его помогут дополнительные параметры: много ли вы занимаетесь спортом, много ли пьете, много ли пирогов съедаете в неделю. Учтя все эти переменные, вы получите более ясную картину влияния роста на вес. Это будет контролирование других переменных, о котором мы говорили в этой главе. Если не учитывать искажающие факторы, то можно переоценить или недооценить корреляцию или найти ее там, где ее на самом деле нет.

Глава 8 Причинно-следственная связь

Выпив кока-колы, вы рветесь в драку? А глотнув ледяной фанты, испытываете неконтролируемое желание долбануть кого-нибудь бутылкой?