Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

Историки сходятся в том, что математика берет начало в глубокой древности, когда зарождался сам язык, когда еще не существовало ни западной культуры, ни цивилизации вообще. Если мы будем считать создание и распространение систем счисления началом математической деятельности человечества и, подобно выдающимся историкам науки, будем полагать, что системы счисления были созданы до того, как появилась письменность, то остается сделать последний вывод: математика зародилась не только за рамками нашей культуры, но и задолго до ее рождения.

Математики творят или совершают открытия?

Накопленные математические знания и наследие Платона заставляют думать, что математика представляет собой череду открытий, однако в этой науке не открывают — здесь создают. Процитируем испанского логика Жузепа Пла:

«…Математика, практически так же, как язык, является продуктом человеческого разума и обладает собственной жизненной силой, что заставляет думать, что она существует независимо от математических знаний и математического творчества. Позволю себе решительно заявить — эта точка зрения ошибочна».

Проиллюстрируем это представление на примере. Допустим, что животные собрались на водопой. Некий человек, посмотрев на них, опишет их множеством способов и сформулирует множество вопросов о них. Но эти описания и вопросы будут определяться его культурой. При этом математики-формалисты указывают, что на водопой собралось, например, семь животных, и их число не зависит от наблюдателя. Мы нашим примером хотим подчеркнуть, что число семь определяется нашей культурой, так как наблюдатель умеет считать, умеет различать «много» и «мало» и ему интересно, сколько же именно составляет «много», а сколько — «мало».

Однако человек, насчитавший семь животных, возможно, упустил из виду что-то, что находится у него перед глазами и доступно его чувствам, поскольку особенности его культуры не позволяют ему сформулировать вопросы об этом на своем языке.

Откуда мы знаем, что эти незаданные вопросы не относятся к сфере математики и не являются такими же важными, как вопрос о числе животных на водопое?

Поэтому разумно утверждать, вслед за Хершем и Эрнестом, что известная нам математика является продуктом человеческого общества и культуры. Следовательно, в разных культурах она будет отличаться. И это действительно так. Разве неевклидова геометрия, созданная в буржуазной Европе XVIII века, не отличается от древнегреческой геометрии Евклида, созданной 2500 лет назад?

Вся математика Евклида имеет конечный характер. В ней отсутствуют итеративные процессы и понятие предела. В этом контексте дифференциальное исчисление нельзя рассматривать как нечто относящееся к математике. Сегодня степень математической глобализации такова, что все возможные различия нивелировались.

Евклидова, проективная, сферическая, фрактальная геометрия, метод конечных элементов, рекуррентные формулы, использование простейших (линейка, циркуль) и сложных приспособлений (компьютерные программы) — все это и многое другое мы объединяем одним названием: «математика». Теперь все перечисленное выше образует единое целое, но раньше это было не так.

В ванной с Архимедом и Пуанкаре

По легенде, когда великий математик и мудрец Архимед принимал ванну, ему пришла в голову идея (озарение?), что объем тела, погруженного в воду, равен объему вытесненной им воды, и он воскликнул «Эврика!», то есть «Нашел!». Подобное счастливое озарение было и остается примером математического творчества. Однако это кажущаяся спонтанность. Другие великие математики, например француз Анри Пуанкаре, переживали похожие моменты и рассказывали о том, как и когда на них снизошло вдохновение.

Как в мозгу человека зарождаются удивительные идеи? В результате чего они возникают? Ответы на эти вопросы нужно искать не в математике, а в психологии.

В начале прошлого века Пуанкаре предложил описание того, как работает ум математика, и представил его Парижскому психологическому обществу. Он начал свой доклад с двух парадоксальных вопросов: «Как может кто-то не понимать математики вообще или с трудом понимать ее? Возможны ли в математике ошибки?»

* * *