Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

АРХИМЕД ИЗ СИРАКУЗ (287–212 ГОДЫ ДО Н. Э.)

Он умер от рук римского солдата, который не знал о приказе консула Марцелла сохранить ученому жизнь. По легенде, солдат не пощадил изобретателя, который был погружен в математические размышления, в то время как в его доме орудовали римские воины. К наиболее важным открытиям Архимеда относятся: правило рычага, приближенное вычисление площади круга, решение задачи о трисекции угла, вычисление площади сегмента параболы и площади сферического сегмента, а также труд о шаре и цилиндре.

Профиль Архимеда изображен на медали Филдса, которая каждые четыре года вручается одному или нескольким математикам в возрасте до сорока лет. Филдсовская премия в математике считается аналогом Нобелевской премии.

* * *

Первый вопрос возникает, когда мы утверждаем, что в основе математики лежит логика с ее основополагающими и всеобщими принципами. Второй вопрос возникает, если мы считаем, что математик — это некий мудрец, который в своей работе руководствуется законами логики, и поэтому не может совершать ошибок. При этом некоторые люди прекрасно разбираются в бытовой логике, но при этом не способны понять математическое доказательство, состоящее из кратчайших логических рассуждений. А сам Пуанкаре признавался, что не мог складывать числа без ошибок!

Он же указывал: крайне важно, что математическое доказательство является не совокупностью силлогизмов, а их последовательностью, при этом порядок их расположения намного важнее, чем они сами. Если математик четко представляет себе этот порядок, ему не нужно бояться, что он забудет о каком-то из шагов доказательства. Однако способностью видеть связи, в том числе неявные, между на первый взгляд совершенно разными вещами, по-видимому, обладают не все. Именно эта способность, по мнению Пуанкаре, отличает тех, кто может творить математику, от тех, кто может изучать, понимать и применять ее.

Математическое творчество не заключается в комбинировании уже известных знаний — на это способен и компьютер, однако многие его комбинации не будут представлять никакого интереса. Для Пуанкаре творить значило выбирать полезные и очень редкие комбинации среди многочисленных бесполезных.

Пуанкаре делил творческий процесс на этапы. Он начинал с долгой и трудной работы над темой в течение нескольких недель. Затем какое-то необычное событие (например, выпитая чашка черного кофе) мешало ему заснуть, и его начинали одолевать идеи. Именно в этот момент отдельные идеи переплетались и соединялись в единое целое. Далее полученные результаты улучшались, после чего по аналогии к нему приходила новая идея. Затем начиналась новая фаза, во время которой ученый занимался чем-то далеким от математики (например, отправлялся на экскурсию), отвлекаясь от своих размышлений. И во время какого-то вполне обычного действия (например, когда он садился в автобус) Пуанкаре понимал ключевую взаимосвязь между элементами, которые казались не зависящими друг от друга (например, между фуксовыми функциями и неевклидовой геометрией). Вернувшись домой, он проверял правильность пришедшей к нему мысли.

Внезапное озарение, посетившее Пуанкаре, было результатом длительной сознательной и подсознательной умственной деятельности. И этот подсознательный труд, который порой оказывается более продуктивным, чем сознательный, по всей видимости, начинается только после того, как проведен определенный объем сознательной работы, как если бы мы оставили компьютер в спящем режиме или свернули окно одной программы и запустили другую. Однако программа, окно которой мы свернули, продолжает работу и выдает решение, о котором мы узнаем только тогда, когда открываем ее окно снова, щелкнув на него или закрыв все остальные программы. Пуанкаре особо выделял роль осознанного труда: даже если он казался безрезультатным, без него совершить открытие невозможно.

Нам неизвестно, какие умственные процессы привели Архимеда к его открытиям, но, возможно, он чувствовал нечто подобное. Те, кто занимался математикой на профессиональном или любительском уровне, наверняка понимают, что Пуанкаре имел в виду.

* * *