Творения рук человеческих (Естественная история машин)

Второе сочетание чисел звеньев и пар пятого класса соответствует трехповодковой группе. По числу поводков эта группа называется группой третьего класса третьего порядка, а следовательно, и механизмы, в состав которых входит хотя бы одна такая группа, также относятся к механизмам третьего класса третьего порядка. Развитием поводка в трехшарнирное звено мы получим группу третьего класса четвертого порядка.

Таким образом, новая систематика механизмов полностью не совпадает с начальной систематикой Ассура. В частности, оба его первых класса попадают в третий класс новой классификации Артоболевского. В то же время из первого класса Ассура выделены в особый класс механизмы, образованные наслоениями двухповодковых групп. Сделано это для того чтобы строго выдержать принцип единства методов исследования. Как это, впрочем, выяснил и сам Ассур, методы исследования двух- и трехповодковых групп не идентичны, тогда как простые и сложные нормальные цепи с жесткими звеньями исследуются одними и теми же способами.

Вторая возможная цепь из четырех звеньев и шести пар представляет собой шарнирный четырехзвенник (с одной степенью подвижности), образованный двумя трехшарнирными звеньями, связанными попарно двумя же поводками. Свободные элементы кинематических пар у вершин треугольников служат местами сочленения группы с ведущим звеном и стойкой. Поэтому группа называется группой четвертого класса второго порядка. Механизмы, в состав которых входят замкнутые контуры однократной изменяемости, называются механизмами четвертого класса. Продолжая ту же операцию, мы сможем прийти к механизмам, в составе которых окажутся контуры двухкратной изменяемости (механизмы пятого класса).

Другими словами, класс контура зависит от количества пар, в которые входят образующие его звенья. Класс группы определяется классом наивысшего по классу контура, входящего в ее состав. Порядок же группы определяется количеством элементов кинематических пар, которыми группа присоединяется к основному механизму.

Следовательно, теория структуры механизмов позволяет строить группы любой сложности, которые можно было бы использовать в практике. Естественно, что не все множество получаемых таким образом механизмов может найти себе применение в практическом машиностроении, в особенности это касается групп сложной и очень сложной структуры. Не следует забывать, что, кроме условий правильности структуры, на механизмы налагается и много других условий, которые приходится учитывать в процессе конструирования новых механизмов. Все же рассуждения Артоболевского в этом отношении содержат много поучительного и в значительной степени являются заделом на будущее. Не лишено интереса и то, что генетические структуры и структуры механизмов могут исследоваться при помощи аналогичных математических методов. В сущности, и те и другие являются топологическими задачами, и в решении возникающих при этом проблем смогла бы оказать действенную помощь теория графов. Впрочем, в теории структуры в этом направлении уже выполнен ряд исследований.

Ассур, исследуя математическую сторону поставленных им структурных проблем, неоднократно указывал на их топологическое происхождение, тем более что он строил цепи, совершенно не обращаясь к их количественным характеристикам. Он считал, что изучение сложных шарнирных образований не только само по себе представляет интерес для геометров, но сможет послужить и для дальнейшего развития топологии. Он начал искать сродство поставленных им задач с проблемами топологии, лишь встретившись с необходимостью ввести изучение обходов в цепях второго (по Ассуру!) класса. Тут выявляется особенное значение бесповодковых трехшарнирных звеньев и, следовательно, теряется значение поводков, которыми, собственно, и отличаются нормальные цепи от иных цепей. Отсюда следует вывод, что не только нормальные цепи, но вообще и все цепи укладываются в классификацию нормальных цепей (классификация Ассура остается составной частью систематики Ассура — Артоболевского с некоторыми лишь терминологическими коррективами).

Вот это обобщение задачи, обусловленное полным абстрагированием от ее механической сущности, опять приводит Ассура к понятию о цепях как о линейных комплексах. При этом возникает вопрос об обходности узловых точек, и он рекомендует геометрам продолжить и развить это его исследование. Остаются неразрешенными еще,некоторые теоретические вопросы о возможных цепях высших классов и о распадении цепей на простейшие; вопросы эти не поддаются решению принятыми им методами.

Ассур неоднократно возвращается к поставленной им топологической задаче. Здесь он видит не только метод решения интересующего его вопроса, но также и основание для развития математической теории. Правда, его пожелание долго оставалось невыполненным, и лишь через пятьдесят лет после его смерти к исследованию кинематических цепей начали применять теорию графов.