Ум в движении. Как действие формирует мысль

Перемещение счета из ума в мир сначала позволило выполнять подсчеты и хранить их результаты. Оказавшись в мире, счет стал инструментом мышления, и – как со многими другими когнитивными инструментами – с ним оказалось возможным работать, конструировать его и перестраивать. Эти блестящие изобретения – символы и пространственная позиция, – кажущиеся нам сейчас самоочевидными, обусловились целыми поколениями взаимодействий между разумом и страницей, сериями проб и ошибок, компромиссов, поворотов не туда и заходов в тупик. Трудно переоценить важность взаимодействий между разумом и построениями в мире. Эти взаимодействия зависят от помещения математики на виртуальную постоянную страницу – абак или счетную доску, – чтобы было, на что смотреть, что осознавать и реорганизовывать. Мысленной математики, руки и тела оказалось недостаточно. Вынесение счета и вычислений из ума в мир, помещение символов на пространственные позиции на странице в свою очередь сделало возможными сложные изменения в обществе, сельском хозяйстве, инженерном деле, науке и математике.

Математика считается самым абстрактным способом как мышления, так и репрезентации мышления. Она функционирует благодаря символам и месту в пространстве. Лэнди и Голдстоун указали на это в названии одной из своих статей: «Формальные системы обозначений – это схемы». Они обнаружили, что люди используют распределение в пространстве, даже если этого не требуется – в качестве основной идеи для группировки при решении алгебраических задач. По словам Лэнди и Голдстоуна, «алгебра – это повествование об объектах, движущихся в пространстве. Доказательства рассказывают историю об этих объектах». Математические доказательства – это истории. Надо же!

Математические схемы и культура

Совершим небольшой экскурс в сторону культурных различий в математических схемах. Азиатский уличный пейзаж расценивается более сложным, нежели западный, как западными наблюдателями, так и восточными. Случайно или нет, азиатские общества сильнее пронизаны взаимозависимостями, социально сложнее, чем индивидуалистические западные общества. Мы заинтересовались, а не проявляется ли наблюдающаяся в Азии тенденция к большей сложности также и в схемах, конкретно – в математических схемах. Мы взяли первые десять схем для каждой из четырех арифметических операций – сложения, вычитания, умножения и деления, – введя эти термины в Google Images и Baidu Images (основной китайский браузер). Мы убрали из изображений все слова и предложили оценить схемы американцам европейского происхождения и китайцам. Исследование было проведено дважды с интервалом в несколько лет. Обе группы сочли китайские арифметические схемы более сложными. Нельзя не задуматься – а не позволяет ли сложность уличной ситуации или социальных и семейных отношений лучше понимать сложность в других сферах?

Как было сказано, математические обозначения резко контрастируют с другим древним когнитивным инструментом – картами. Карты превращают большие пространства в маленькие, ужимая расстояние и направление реального мира до расстояния и направления на странице. Происходит прямое отображение одного пространства на другое. Иначе обстоит дело с математическими обозначениями. В математике использование места в пространстве для кодирования величины в единицах, десятках, сотнях и т. д. является намного более опосредованным и символическим действием. Ни метки – символы цифр, ни пространственные отношения не имеют сходства ни с чем релевантным в мире. Насечки бирок его имеют, хотя и абстрактное: чем больше предметов, тем больше меток, один к одному. Однако в форме цифры 9 нет ничего указывающего, что она представляет значение на 3 больше, чем 6. Пространство карты отражает пространство мира, хотя иногда искаженное. Пространство в математике – столбцы, которые нужно правильно выровнять по вертикали, решая арифметические задачи, – упорядочено согласно возрастанию справа налево и представляет отношения в чисто концептуальном мире плюс сложное картирование в нем. Бирки обеспечивают высокое соответствие в плане количества, один к одному, но очень неудобны для использования в расчетах. В математических обозначениях два принципа конфликтуют, и Принцип использования перевешивает Принцип соответствия.