В лабиринте чисел

— Любопытно, — привычно изрёк Чит, когда Ари умолкла. — Но одного я всё-таки в толк не возьму: при чём тут кролики?

— В самом деле, — улыбнулась она, — пора бы в этом разобраться. Понимаешь, есть у Леонардо одна задача, где спрашивается, сколько пар кроликов родится за год от одной пары, если по условию в первый месяц своей жизни пара таких кроликов всегда бездетна, новая пара от них появляется в конце второго месяца, а затем уже ежемесячно. То же происходит с каждой вновь народившейся парой. Так вот, если изобразить всё это в числах, получится интересный числовой ряд, где каждое последующее число равно сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… И так далее, до бесконечности.

Чит недоуменно пожал плечами. Ряд как ряд! Что в нём интересного?

— Не скажи, — живо возразила Ари. — У чисел Фибоначчи (так их теперь называют) куча удивительных свойств. Взять, например, дерево — из тех, что ветвятся ежегодно. Если на втором году жизни у него два ответвления, то на третьем их уже будет три, на четвёртом — пять, на пятом — восемь, на шестом — тринадцать и так далее. А ведь всё это числа Фибоначчи! С тем же рядом связано и расположение листьев на ветке, и количество завитков, образованных семечками подсолнуха, чешуйками сосновой шишки или ананаса… Как видишь, природа широко пользуется числами Фибоначчи.

— А люди? — неожиданно выпалил Чит. — Они-то ими пользуются?

— Где людям угнаться за природой! Долгое время о числах Фибоначчи просто не знали. Но и потом они оставались безработными много столетий. И только в нынешнем, двадцатом веке им нашлось наконец дело. Во-первых, подобно булевой алгебре и теории множеств, числа Фибоначчи используются в вычислительных и думающих машинах. Во-вторых, с их помощью были решены некоторые математические задачи. Ну да о них ты узнаешь в своё время. Как ещё сработает этот удивительный числовой ряд, сказать трудно. Ясно одно: бесполезных открытий не бывает.

Хитрые рассуждения Зенона

— Завернём на минутку в Древнюю Грецию? — предложила Ари.

— Пошли! — сказал Чит.

И вот они в прохладном греческом дворике с каменной надписью на воротах: «Зенóн из Элéи». Здесь, в тени оливкового дерева, стоял древний грек среднего возраста. У ног его лежал деревянный шар, который он пинал деревянным же молотком. Но шар почему-то оставался на месте, как приклеенный. Чит спросил, в чём дело, и Зенон (а это был именно он) заявил, что шар нипочём не покатится.

— Да почему же? — недоумевал Чит.

— Потому что всякое движущееся тело непременно должно преодолеть середину пути, прежде чем достигнет его конца.

— Ну и что же?

— А то, что середина — это половина пути, а у этой половины есть своя половина, то есть четверть пути. Так ведь? А у четверти — своя половина: восьмая пути. У восьмой, в свою очередь, своя: одна шестнадцатая…

— Я вижу, конца этим половинам не предвидится, — перебил Чит.

— В том-то и дело! — обрадовался Зенон. — И стало быть, шар никогда не достигнет следующей половины, так как не преодолел предыдущей. Из чего следует, что никакого движения в природе попросту нет.

— Вы это серьёзно? — удивился Чит.

— Серьёзней некуда, — подтвердил тот. — Разве я не доказал это строго логически?

— Странная у вас логика, — съязвил Чит, вспомнив любимое выражение своей мамы, и несколько раз обежал вокруг Зенона. — Может, и теперь скажете, что движения нет?

— И скажу, — упёрся Зенон. — Недаром это вытекает из моей знаменитой апории.

Чит, конечно, немедленно спросил, что такое апория? Оказалось по-гречески — это «непреодолимое препятствие», и таких «препятствий» у Зенона четыре. В самой своей известной апории он доказывает, что быстроногому Ахиллéсу ни за что не догнать медлительной черепахи. Остальных апорий Чит не запомнил, но с него было довольно и двух.

Под конец он выхватил у Зенона молоток, хорошенько наподдал шар, и тот благополучно врезался в противоположную стену дворика, единым духом преодолев всё бесконечное множество середин.

— Не понимаю! — сказал Чит, когда они покинули Древнюю Грецию и двинулись к следующей остановке. — Кажется, умный человек, а занимается глупостями…

— Ты хочешь сказать, ошибается, — мягко поправила Ари. — Да, Зенон, конечно, ошибался. А скорее всего, увлекался хитроумными логическими построениями, основанными на трудно уловимом противоречии. Такие построения, между прочим, называются софизмами… Но так или иначе, он был первым учёным, представившим себе бесконечно малую величину — то есть такую, которая непрерывно стремится к нулю. Выходит, он предвосхитил появление нового понятия, утвердившегося много столетий спустя, в XVII веке. Открытие бесконечно малых величин вызвало целый переворот в науке. Оно помогло решить многие, до тех пор неразрешимые задачи. При этом практическое применение математики очень расширилось.

— Оказывается, полезными бывают и ошибки, — пошутил Чит. — Но в чём, кстати, ошибка Зенона? Этого я так и не понял.