В погоне за красотой

Далее идут несколько вспомогательных теорем, и он доказывает очень важное утверждение:

2. Если сумма углов в каком-либо одном треугольнике равна π, то она равна и во всяком другом треугольнике.

Все доказывается без привлечения пятого постулата. Средствами абсолютной геометрии.

Теперь все подготовлено для последней теоремы этого цикла — доказательства эквивалентности:

3. Если сумма углов треугольника равна π, справедлив постулат Евклида. Вообще говоря, если принять первые два утверждения, то эквивалентность сразу можно доказать с помощью «нашей» теоремы. Предоставляю читателям самостоятельно проверить это утверждение. Кстати, можно признаться, что примерно так и доказывал Лежандр. Остается получить только одно:

4. Сумма углов треугольника не может быть меньше π.

Только это! И пятый постулат доказан.

И Лежандр решает эту задачу.

Доказательство Лежандра великолепно.

Оно изящно. Просто. Неожиданно.

В нем есть все, что восхищает нас в математике. Кроме одного.

Оно неверно.

Но внимания оно заслуживает.

Метод — снова доказательство от противного. Перед нами Δ ABC. С него мы начинаем. Он главный. И сумма его углов по предположению равна (π – α).

Стороны угла A мы продолжим до бесконечности. Это понадобится в дальнейшем.

Теперь — вспомогательное построение.

На стороне BC строим еще один точно такой же треугольник. Он виден на чертеже — это Δ BCD.

Построили мы его так, что сторона BD = AC, а сторона CD = AB. Легко убедиться, что сделать это всегда возможно. И теория параллельных пока никак не вмешивается в наши рассуждения. Теперь из точки D проведем какую-либо прямую. К ней предъявляется единственное требование. Она должна пересечь обе стороны угла А. Вроде бы очевидно, что можно найти не одну, а много прямых, удовлетворяющих этому условию.

Остановимся.

Все. Задача решена. Пятый постулат уже доказан. Остальное дело очень несложной техники. Посмотрите на чертеж. Сумма углов в треугольнике CDF и BED непременно меньше π. Действительно, теорема 1 запрещает ей быть больше π, а теорема 2 плюс существование Δ ABC исключают возможность быть равной π.

Насколько меньше, нам совершенно неважно. Более того, на самом деле нам нужно только одно: сумма углов в этих треугольниках не должна превышать π. Теперь остались мелочи. Посмотрим на большой Δ AEF. И найдем сумму его углов. Проделаем это несколько окольным путем.

Всего у нас четыре маленьких треугольника. Сумма всех их углов равна: 2(π – α) + (π – γ) + (π – δ) = 4π – 2α – γ – δ.

Теперь обратим внимание на то, что эту же сумму можно записать несколько по-другому. Из углов наших маленьких треугольников у точек С, В и D организуются три угла, равные π каждый. Остаются еще углы у вершин A, E и F. Но сумма этих углов и есть сумма углов Δ AEF.

Итак:

сумма углов Δ AEF + 3π = 4π – 2α – γ – δ.

И потому:

сумма углов Δ AEF + 3π = 4π – 2α – γ – δ.

Теперь начинается цепная реакция. Дословно повторив все наше построение для Δ AEF, построим треугольник с суммой углов меньше, чем (π – 4α). Далее, построим треугольник с суммой углов меньше, чем (π – 8α). Короче, как бы ни было мало α, мы сможем построить такой треугольник, что сумма его углов отрицательна. Но это явный абсурд. Наше предположение привело к нелепости. Теорема доказана. Сумма углов треугольника не может быть меньше π. Доказательство действительно прекрасно. Для профессионала его можно записать на трех строчках. В дополнительных построениях всего две операции.

Но… предположить, что через точку внутри угла всегда можно провести прямую, встречающую обе его стороны, означает, что вместо пятого постулата мы вводим его эквивалент. И Лежандр понимает это. Но от столь красивого решения отказываться жаль. И уже совсем по-человечески он несколько жалобно объясняет, что за <A выбран тот из углов, что меньше 60°(^π/₃). Тогда легче поверить в его предпосылку. Поверить действительно легче. Но дела это не меняет. Доказать это утверждение без помощи пятого постулата нельзя. И в итоге Лежандр отказался от своего доказательства.

Более того.

Пусть <A произвольно мал. Меньше любого наперед заданного числа. Меньше, например, секунды. Даже в этом случае нельзя доказать предположение Лежандра. Если бы это было возможно, сразу был бы доказан пятый постулат. Для точек внутри угла, достаточно близких к вершине, гипотезу Лежандра, конечно, можно доказать строго. Но только для близких. А при нашем построении, чтобы получить противоречие, надо все дальше уходить от вершины.

Если продолжить анализ на пути Лежандра, то на свет выплывает много забавных эквивалентов пятого постулата.