В погоне за красотой

Ламберт начинает анализ, надеясь прийти к абсурду, и протягивает цепь своих теорем еще дальше, чем Саккери.

Он доказывает, между прочим, одну из самых замечательных и странных на привычный взгляд теорем геометрии Лобачевского:

Площадь любого треугольника пропорциональна разности между 180° и суммой его углов:

S = A · (π – Σ).

A — постоянное число, оно одно и то же для всех треугольников;

Σ — сумма углов треугольника.

Отсюда немедленно следует, что площадь любого треугольника не может превышать:

S_max = A · π

Это наивыгоднейший для нас случай, когда сумма углов треугольника равна нулю.

Отсюда, в свою очередь, немедленно вытекает, что стоит допустить существование треугольника сколь угодно большой площади — и мы докажем постулат Евклида.

Далее сразу ясно, что при «гипотезе острого угла», или, говоря попросту, в геометрии Лобачевского, отсутствуют подобные треугольники, ибо не может быть двух неравных треугольников с равными углами.

Так что теорему, доказанную Ламбертом, можно использовать, чтобы предложить две новые формулировки пятого постулата.

1. Существует треугольник, площадь которого больше любого указанного заранее числа.

Или:

2. Существуют хотя бы два подобных треугольника, то есть такие треугольники, площади которых различны, а все углы соответственно равны. (Правда, как помните, этот эквивалент пятого постулата использовали значительно раньше.)

Обе формулировки предельно естественны, предельно очевидны.

Вне сомнений, что элементарные следствия теоремы о площадях были ясны Ламберту. Но он не поддается лукавому и обманчивому очарованию очевидности. Напротив. Он даже увлекается этой неподатливой «гипотезой острого угла».

«Я склонен даже думать, что третья гипотеза («гипотеза острого угла». — В. С.) справедлива на какой-нибудь мнимой сфере. Должна же быть причина, вследствие которой она на плоскости далеко не столь легко поддается опровержению, как это можно было сделать со второй гипотезой».

Сказано абсолютно точно. Действительно, считая, что геометрия Евклида справедлива на плоскости, можно указать такие поверхности, на которых будет выполняться планиметрия Лобачевского.

Это так называемые псевдосферические поверхности. Впервые их открыл все тот же Бельтрами.

Вот как симпатично выглядят некоторые из них.

(К поверхностям этим мы еще вернемся, а пока посмотрим, что еще говорил Ламберт.)

Основная его задача — доказать, что на плоскости выполняется геометрия Евклида. Замечание о псевдосферах — побочный вывод.

И Ламберт — можно еще раз восхититься логикой этого человека — ясно понимает: он ничего не доказал.

«Доказательства Евклидова постулата могут быть доведены столь далеко, что остается, по-видимому, ничтожная мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключается вся суть вопроса. Обыкновенно она содержит либо доказываемое предложение, либо эквивалентный ему постулат».

Вот его вывод. Вывод безукоризненный и точный.

Безусловно, он разобрался в проблеме лучше всех предшественников, он провел анализ дальше всех, перечислил ряд нелепых, с точки зрения нашей «евклидовой» интуиции, выводов, к которым приводит «гипотеза острого угла», но он не нашел логически безупречного доказательства.

А «аргументы, вызываемые любовью и недоброжелательством», как он их квалифицирует, — не аргументы для геометра.

Более того, в глубине души Ламберт смутно подозревает, что, быть может, пятый постулат вообще нельзя доказать. Он обсуждает возможную справедливость «гипотезы острого угла».

Увлекаясь невольно цепью своих теорем, он даже нарушает сдержанный академический стиль:

«В этом есть нечто восхитительное, что вызывает даже желание, чтобы третья гипотеза была справедлива.

И все же я желал бы, несмотря на это преимущество, чтобы это было не так, потому что это было бы сопряжено с целым рядом других неудобств.

Тригонометрические таблицы стали бы бесконечно пространными, подобие и пропорциональность фигур не существовали бы вовсе, ни одна фигура не могла бы быть представлена иначе, как в абсолютной своей величине, и астрономии пришлось бы плохо».

Слова «несмотря на это преимущество» относятся к замечательному выводу неевклидовой геометрии — существованию абсолютной единицы длины.

Ламберт, как видим, владел и этим понятием. (Об абсолютной единице длины мы вспомним еще чуть позже.) К сожалению, работа Ламберта также оказалась вне внимания ученых, и Лобачевский не знал о ней до конца дней своих.

Впрочем, неясно, стоит ли сожалеть об этом. Работа Ламберта, знай ее Лобачевский, могла бы, конечно, сэкономить ему пару лет работы, но могла бы и погасить интерес к проблеме, убедив, что все его начальные результаты уже давно известны.

Так или иначе, он ее не знал.