В погоне за красотой

Ламберту оставалось совсем немного, чтобы стать автором неевклидовой геометрии. По сути — лишь одно.

Надо было твердо заявить: «гипотеза острого угла» равноправна с пятым постулатом.

Ни пятый постулат, ни противоположное ему утверждение («гипотеза острого угла» — в терминологии Ламберта) не вытекают из остальных аксиом. Они совершенно независимы. Какое именно выполняется в нашей вселенной — вопрос опыта.

Стоило ясно сформулировать себе эти очень вроде бы простые мысли, стоило поверить, что все так оно и есть. И… остальное было дело техники.

Математик такого дарования, как Ламберт, сравнительно просто мог доказать еще несколько десятков теорем, мог и без особого труда систематизировать эти теоремы — мог построить всю систему неевклидовой геометрии.

А теперь остановимся на мгновение.

Законы научного творчества — вещь смутная. Иногда к открытию приходят одним путем, иногда совсем отличным; бывает, приходят почти случайно, бывает, что открытие венчает десятилетия проклятого напряженного труда. Бывает всякое. Но один закон непреложен.

Лет через пятьдесят (от силы сто) любое супергениальное провидение — непонятное, запутанное, странное и поразительное для современников — кажется естественным, простым и едва ли не тривиальным.

Чтобы оценить значение той или иной работы, надо попытаться отбросить весь комплекс знаний, накопленных со времени ее появления, и мысленно представить себя в той эпохе.

Попробуем же вообразить себя геометром конца XVIII, начала XIX столетия, исследующим пятый постулат.

С ранних лет нас учат, что геометрия Евклида — самое совершенное создание человеческого разума. Нас не только учат, мы сами с годами все больше подчиняемся завораживающей логике доказательств, погружаемся в холодную красоту чертежей, лемм, теорем — в призрачное царство логики и интеллекта.

Мы живем в этом замкнутом мире, и единственные законы, управляющие нашим сознанием, — законы этого мира.

Геометрия давно уже не представляется нам тем, чем она была когда-то в дряхлой древности, «наукой об измерении земли — землемерием». Вопрос о ее реальности, о ее практическом осуществлении в нашем мире решен столь давно, что сейчас он никого не заботит.

Геометрия давно уже воспарила от грешной земли к горным высотам идеальной абстракции.

Сама мысль, что геометрию все еще можно и должно проверять опытом, что геометрия, по существу, один из разделов физики, не может прийти нам на ум, потому что еще в самые первые дни обучения мы узнали, что геометрия верно служит уже несколько тысяч лет.

Да, в последнее время вся система аксиом подвергается некоторой критике.

Да, пресловутый пятый постулат шокирует, и довольно серьезно, наши эстетические чувства.

Но не более.

Никаких сомнений в справедливости пятого постулата у нас нет и быть не может. Мы сомневаемся лишь в том, что это постулат. Мы лишь подозреваем, что в аксиомы затесалась теорема.

Ставить под сомнение пятый постулат вообще — означает усомниться в геометрии. А если так, то столько же оснований усомниться, например, в аксиоме: «Через две точки проходит одна, и только одна, прямая».

Или в любой другой. Можно подвергнуть ревизии и понятие линии. И арифметические аксиомы. Можно все идеальное, античных пропорций здание превратить в бесформенное нагромождение обломков. Можно. Но это работа варвара, гунна, а отнюдь не математика.

Нет ничего более совершенного в мире, нежели геометрия, и лишь один небольшой изъян слегка смущает нас — пятый постулат.

Что касается других аксиом — они настолько очевидны, что сколь-нибудь серьезных вопросов с ними не может быть связано. Легкие изменения, более отточенные формулировки — да, это возможно. Но малоинтересно в конце концов. Так мы думаем. Так думали математики всех стран 25 веков до нас. Отказаться от нашей веры — означает отказаться от всего.

Мы стремимся к красоте и гармонии в нашей евклидовой геометрии, к окончательной отделке здания. Но менее всего думаем о разрушении.

И мы убеждены: допустить, что в геометрии Евклида можно изменить хоть одну аксиому, не придя при этом к ужасной нелепости, — значит подорвать все.

Нужна одна мысль, одна фраза, но мысль, совершенно меняющая все мировоззрение.

Глава 7 Неевклидова геометрия. Решение

На 1911 год библиография по неевклидовой геометрии составляла список в 4200 работ. Сейчас это число, можно думать, приближается к 20–25 тысячам.

Из них не меньше тысячи трудов историко-биографического характера.

К сожалению, я не нашел точных цифр, но оценки, приведенные выше, основаны на столь жестких гипотезах, что реальные цифры должны быть существенно выше.

Примем за основу тысячу.

Вероятно, не менее двухсот книг и статей посвящены исключительно Лобачевскому.

Спрашивается: зачем же еще?

И автор должен признаться, что трагический вопрос этот не раз и не два возникал во всем своем грозном величии до начала работы, в ее процессе и после ее окончания.

Можно, конечно, утешаться тем, что проблемы подобного сорта неизменно возникают, о чем бы ты ни взялся писать.

И они не слишком оригинальны.