В погоне за красотой

По существу, на этом пути можно получить много теорем неевклидовой геометрии. Для развлечения можно предложить такую задачу. Анализируя предпосылку Лежандра, показать: пусть <C — угол при вершине семейства равнобедренных треугольников: ACB, A′CB′, A″CB″ и т. д.

Допустив, что в этом семействе всегда найдется треугольник с высотой, большей любого наперед заданного числа, мы докажем пятый постулат. Не правда ли, это довольно неожиданный, очень естественный на вид эквивалент «пятого»! Он довольно просто находится при анализе доказательства Лежандра. Несколько забегая вперед, отметим, что в геометрии Лобачевского правильна противоположная теорема.

Большинство прочих авторов не шли так далеко, как Лежандр. Они запутывались в самом начале.

Но были и более интересные работы.

В 1889 году итальянский геометр Бельтрами обнаружил забытую работу своего соотечественника иезуита Иеронима Саккери, который еще в 1733 году предвосхитил и превзошел все результаты Лежандра.

До этого времени считалось, что именно Лежандр показал:

1. Не прибегая к пятому постулату Евклида, при помощи остальных аксиом можно доказать, что сумма углов треугольника не может быть больше двух прямых, больше 180° (> π).

2. Если справедлив пятый постулат, то сумма углов хотя бы в одном треугольнике точно равна 180° (равна π).

Отсюда следовал вывод:

Если несправедлив пятый постулат, то сумма углов во всех треугольниках меньше 180° (< π).

Лежандру хотелось верить, что он опроверг и эту возможность, но… впрочем, мы уже говорили об этом.

Так вот оказалось, что Саккери получил все эти результаты значительно раньше. Более того, его исследование, цепочка его теорем тянется значительно дальше, чем у Лежандра. Правда, отправной пункт у него несколько другой. Он идет не от треугольника, а от четырехугольника, так же как несколько столетий ранее Хаййам.

Построение его таково.

1. Возьмем отрезок AB.

2. Из крайних точек А и В восстановим перпендикуляры и отложим на них отрезки AA′и BB′ равной длины.

3. Соединим А′ и B′ прямой. Получим четырехугольник.

4. Возьмем середины оснований С и С′ и соединим их прямой.

5. Возьмем «второй тождественный экземпляр» четырехугольника АА′ВВ′ четырехугольник А₁А₁′В₁В₁′ и наложим его на первый так, чтобы сторона В₁В₁′ легла на сторону AA′.

Тогда легко доказать, что угол А′ равен углу B′, а прямая CC′ перпендикулярна к обоим основаниям. Читатели сами могут докончить строгое доказательство этой теоремы, могут также получить этот результат и несколько по-другому, использовав соображения симметрии.

Для угла А′ и B′ есть три возможности:

1. Они равны 90°(= ^π/₂);

2. Они острые, то есть меньше 90°(< ^π/₂);

3. Они тупые, то есть больше 90°(> ^π/₂).

Саккери показывает прежде всего, что если любая возможность осуществилась в одном каком-то четырехугольнике, то она осуществится и во всех возможных четырехугольниках такого типа.

Далее он доказывает, что:

1. Если справедлива «гипотеза тупого угла», то сумма углов любого треугольника больше π.

2. Если справедлива «гипотеза прямого угла», то сумма треугольника равна π.

3. Если справедлива «гипотеза острого угла», то сумма углов треугольника меньше π.

Далее он доказывает, что «гипотеза прямого угла» эквивалентна постулату Евклида.

Следовательно, чтобы доказать пятый постулат, нужно отвергнуть две другие гипотезы.

С «гипотезой тупого угла» Саккери расправляется весьма быстро и абсолютно строго.

Остается «гипотеза острого угла». И здесь оказывается, что все предыдущее только присказка, сказка впереди.

Почти на ста страницах Саккери разбирает следствия этой поистине сатанинской «гипотезы острого угла».

Он получает теоремы одна страннее другой, но отлично понимает до поры до времени, что внутреннего противоречия в них нет. Но вдруг ему мерещится: он нашел. И он объявляет решительно и безоговорочно: вот доказательство, вот божественная искра, испепеляющая эту гипотезу.

«Гипотеза острого угла совершенно ложна, ибо противоречит природе прямой линии».

И здесь враг рода человеческого улавливает Иеронима Саккери. Он ошибается. Грубо ошибается.

Но нет, не будем спешить с выводами. Саккери еще не успокоен, он смутно чувствует какой-то подвох и заявляет:

«На этом я мог бы спокойно остановиться, но я не хочу отказаться от попытки доказать, что эта упорная гипотеза острого угла, которую я вырвал уже с корнем, противоречит сама себе».

И игра начинается снова.

Саккери вновь ищет доказательства, но уже на ином пути.

Он доказывает, что если принять «гипотезу острого угла», то оказывается, что «геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой линии, есть кривая линия».

Все это строго.

Обратите внимание, вывод, казалось бы, так нелеп, что можно остановиться.

Нет, Саккери отлично понимает, что этого еще недостаточно.

И здесь на секунду забудем о Саккери и вспомним о нашем досточтимом Гийас ад-Дине Абу-л-Фатхе Омаре ибн Ибрахиме ал-Хаййаме ан-Найсабури.