В погоне за красотой

Далее Иван Федорович доводит свое интеллектуальное чудачество по поводу геометрии до логического предела, распространяя его даже на физику:

«Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я сам это увижу; увижу и скажу, что сошлись, а все-таки не приму».

Надеюсь, понятно, что по этому отрывку я не собираюсь делать какие-либо малейшие выводы о творчестве Достоевского вообще. И надо иметь в виду, что геометрия Ивана Карамазова совсем не интересует. Для него это лишь случайный пример — иллюстрация его идей.

Но для нас это иллюстрация и искаженного представления о науке, и легкомысленных рассуждений о непонятных вещах, и довольно-таки явного обскурантизма Ивана Карамазова.

Впрочем, можно оправдать самого Достоевского по крайней мере в том смысле, что фактической ошибки он-то, быть может, и не допускал.

Имена геометров не названы, и потому можно надеяться, что Иван пересказывал представления римановой либо проективной геометрии.

Но поскольку, с одной стороны, слова «неевклидова геометрия» ассоциируются с именем Лобачевского, а с другой — все культурные литераторы, безусловно, внимательно читали Достоевского, то слова Ивана в дальнейшем неизменно экстраполировались к Лобачевскому.

Все эти литературно-психологические изыскания, помимо общих идей дидактически-назидательного характера, возможно, полезны тем, что на таких примерах становится понятней интеллектуальная смелость Бояи и Лобачевского.

А теперь, успокоив душу, вернемся в наш музей.

Естественно, мы ограничимся лишь несколькими теоремами и совсем не будем говорить о стереометрии. Поэтому дальше нигде не будем оговариваться, что все это происходит в одной плоскости.

Сначала, конечно, постулат Бояи — Лобачевского — антагонист «евклидова пятого».

«Через данную точку к данной прямой, кроме «евклидовой параллельной», можно провести по крайней мере еще одну прямую, не встречающую данную».

Отсюда немедленно следует, что можно провести и бесконечное число таких прямых.

Посмотрим на чертеж. Из точки А опущен перпендикуляр на прямую I. Евклидова параллельная — прямая ЕП — естественно, перпендикулярна этому перпендикуляру.

Пунктиром обозначена непересекающаяся с I прямая Лобачевского (ПЛ).

Из соображений симметрии (перегнуть чертеж вдоль перпендикуляра AB!) ясно, что будет существовать другая, точно такая же прямая. Она также обозначена пунктиром. Далее ясно, что любая из бесконечного числа прямых, проведенных через точку А внутри угла между прямыми ЕП и ПЛ, тоже не пересекает прямую I. Итак: «Через данную точку можно провести бесконечное число прямых, не встречающих данную».

Но, естественно, можно провести и бесконечное число прямых, встречающих данную. Их можно провести в любую сколь угодно удаленную от основания точку прямой. Действительно, возьмем любую точку В′ и соединим ее с A прямой. Это всегда можно сделать благодаря известной аксиоме.

Вот и получена прямая, проходящая через А и В′.

Но ввиду непрерывности пучка прямых должна быть граничная прямая, разделяющая оба класса.

Это либо последняя прямая («пересекающая») «встречающая» прямую BB″, либо первая «невстречающая». Легко видеть, что последней «пересекающей» быть не может. Действительно, предположим, что она существует. Пусть, например, это прямая AB′ на нашем чертеже. Но тогда, взяв точку В″ за точкой В′ и соединив ее с точкой А, получим новую прямую, лежащую за В′ и встречающую (пересекающую) прямую I.

Следовательно, граничная прямая — первая не встречающая прямую I.

Естественно, таких прямых две — для каждого направления своя. Внутри угла, образованного этими прямыми, можно провести бесчисленное множество прямых, не встречающих прямую I, в том числе среди них будет и параллель Евклида.

Вот эти крайние невстречающие прямые Лобачевский назвал параллельными.

Как видите, они не имеют никакого отношения к параллельной в смысле Евклида.

И о них с некоторой натяжкой можно сказать, что они как бы пересекают данную прямую BB″ в бесконечно удаленных точках.

Правда, в этой фразе совершенно неясно, что такое «бесконечно удаленная точка», так что лучше ее вообще не произносить.

В терминах Лобачевского все прямые внутри угла «расходятся» с прямой I.

Итак, по отношению к данной прямой есть три типа прямых, которые можно провести через любую точку.

1. Сходящиеся (пересекающие); число их бесконечно.

2. Параллельные. Их две. Про каждую еще говорят: параллельная II параллельна прямой I в сторону BB′; параллельная III параллельна I в сторону B′B. Смысл этих слов понятен из чертежа.

3. Расходящиеся прямые. Это все бесконечное скопище линий внутри пучка. В частности, и «евклидова параллель».

Пока были термины.

Посмотрим теперь теоремы.

Для «параллельных» Лобачевский доказал, что они неограниченно приближаются к данной прямой (никогда не пересекая ее) и неограниченно удаляются в другую сторону.