В погоне за красотой

Этот результат еще не столь странен.

Но вот следующий уже поражает.

Две расходящиеся прямые всегда имеют общий перпендикуляр, который и есть кратчайшее расстояние между ними. По обе стороны от перпендикуляра они неограниченно удаляются. Естественно, это справедливо и для частного случая «евклидовых параллелей».

Таким образом, перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой II к прямой I, во-первых, больше взаимного перпендикуляра AB, а во-вторых, с прямой II не составляет уже прямой угол.

Это действительно странно. Но доказывается безукоризненно.

Соответственно геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, оказывается кривой линией.

Все это самые первые шаги.

Далее Лобачевский вводит новое и очень важное понятие угла параллельности.

Это острый угол между прямой, параллельной I и проведенной через точку A, и перпендикуляром AB, опущенным из этой точки на прямую I. То есть угол параллельности — CAB. По Евклиду, он, естественно, всегда равен ^π/₂.

Сразу можно увидеть, что этот угол зависит от расстояния от точки A до прямой I, причем уменьшается с ростом расстояния.

Действительно, возьмем на продолжении перпендикуляра AB точку A′ и проведем из этой точки «евклидову параллель» к прямой AC. Она пересечет перпендикуляр AB под тем же углом, что и прямая AC.

<DA′B = <CAB.

Но мы знаем, что из точки A′ можно еще провести прямую A′C′, параллельную AC в смысле Лобачевского.

И угол C′A′B, очевидно, меньше, чем угол DA′B.

Очевидно, что если прямая A′C′ не пересекает AC, то тем более она не пересечет прямую I. Она либо расходится с ней, либо параллельна. (Начиная с этого момента, я перестаю оговаривать: «в смысле определения Лобачевского». Всюду дальше в этой главе мы будем придерживаться его геометрии и его определений.)

На самом деле Лобачевский доказал теорему:

«Если две прямые параллельны третьей в одну сторону, то они параллельны между собой в ту же сторону». Так что угол CA′B есть угол параллельности к прямой I в точке A′.

Угол параллельности есть функция расстояния до прямой. Лобачевский обозначил эту функцию Π(x); x — здесь расстояние — то есть отрезок AB.

Мы убедились уже, что эта функция убывает с ростом x. Лобачевский исследовал, как она ведет себя с уменьшением расстояния x, и показал, что угол параллельности Π(x) неограниченно стремится при этом к прямому углу. Учено это выглядит так: . Но если вспомнить, что прямой угол параллельности соответствует геометрии Евклида, то ясно, что на малых расстояниях геометрия Лобачевского практически неотличима от геометрии Евклида.

Это-то ясно. Неясно покуда, что означают слова «малые расстояния».

Слова «малый» или «большой» приобретают смысл, только если указано по сравнению с чем. Без этого они лишены всякого содержания. Очевидно, должна существовать какая-то длина — некий эталон, с которым можно сравнивать все остальное.

Каким же образом этот эталон появляется? И здесь снова уместно вспомнить Лежандра. В своих исследованиях он также обнаружил, что угол параллельности зависит от расстояния. Собственно, для этого достаточно (как мы уже упоминали) чуть-чуть проанализировать его доказательство относительно суммы углов треугольника. И то, что появляется такая зависимость, казалось Лежандру столь нелепым, что одно время он и объявлял это желанным абсурдом, доказывающим пятый постулат. Рассуждал Лежандр очень остроумно, скорее как физик, чем как математик.

По сути, он использовал очень сильный метод качественного анализа физических задач — метод размеренности. Чуть модернизованно схема его рассуждений выглядит так.

Мы видим, что угол параллельности есть функция единственного отрезка — расстояния до прямой. Никакие другие линейные размеры в задачу не входят. Запишем: φ = Π(x).

А теперь посмотрим, что мы написали. Любой угол φ — величина безразмерная. (В радианной мере угол — это отношение дуги единичной окружности к радиусу.)

Слева у нас безразмерная величина. Какой бы масштаб измерения ни был выбран — сантиметры, метры, дюймы, она останется неизменной.

Справа же функция от размерного аргумента. Неважно, какой она имеет вид. Важно, что какой бы ни была, ее численные значения будут изменяться при изменении масштаба. Если, скажем Π(x) = 1/x², то при x = 1 м, Π(x) = 1 м^–2.

Но при выборе за единицу масштаба 1 см

Π(x) = 1/100² см² = 10^–4 см^–2.

Очевидно, мы пришли к нелепости. Зависимость, предложенная нами, невозможна. Следовательно, пятый постулат доказан.

Все рассуждение абсолютно верно. Кроме вывода. Вывод же должен быть другим. Из тех же соображений размерности ясно, что в нашей формуле справа в аргументе функции должна стоять безразмерная величина. Уравнение должно быть таким:

φ = Π(^x/_k),

где k — какой-то неизвестный нам пока отрезок. Но возникает вопрос: откуда его взять, этот отрезок k? Ведь весь анализ показывает, что угол параллельности φ зависит только от единственного расстояния — расстояния точки до прямой.