В погоне за красотой

Вероятно, второй вопрос на первый взгляд представляется совершенно наивным. И возможно, читателям сразу вспоминаются доказательства шарообразности Земли, приводимые в учебниках географии для четвертого класса. Но если чуть-чуть внимательней подумать о доказательствах этого сорта, становится ясно: в них используется тот факт, что мы — трехмерные существа, живущие на двумерной поверхности.

И чтобы иллюзия наивности исчезла, достаточно задуматься: как можно обнаружить, искривлен ли наш трехмерный мир, а также что вообще означает эта столь часто употребляемая фраза?

Но о трех- и четырехмерном мире — чуть позже, а пока вернемся к поверхностям.

Гаусс начал с того, что ввел замечательную величину, определяющую геометрию поверхности. Это гауссова кривизна.

Прежде всего анонсируем важнейшее свойство гауссовой кривизны.

Гауссова кривизна остается постоянной при любом изгибании поверхности, если только не происходит растяжения.

Что именно означает отсутствие растяжения, интуитивно ясно, а строго это формулируется так: если при изгибе поверхности отсутствует растяжение, то, во-первых, остаются неизменны длины любых кривых, проведенных на поверхности, а во-вторых, углы между ними.

Это же самое можно сформулировать несколько по-другому. Возьмите лист бумаги. Изогните его. И измерьте в какой-нибудь точке гауссову кривизну. Теперь можно проделывать с этим листком все, что угодно (только не растягивать и не рвать!), изгибать самым прихотливым образом. Значение гауссовой кривизны в данной точке не изменится.

Чтобы очень важное для нас понятие гауссовой кривизны определить более строго, придется выяснить, что такое радиусы кривизны в данной точке поверхности.

Рассмотрим какую-нибудь точку поверхности и проведем к ней нормаль.

Теперь, очевидно, нужно сказать, что такое нормаль. Для этого понадобится еще одно дополнительное понятие — касательная плоскость. Приведем почти строгое определение. Рассмотрим все возможные кривые линии, расположенные на поверхности и проходящие через точку P.

Оказывается, что касательные ко всем этим кривым лежат в одной плоскости. Сразу это не видно, но может быть строго доказано. Все множество касательных и образует касательную плоскость.

Для случая, показанного на верхнем рисунке на странице 205, довольно очевидно, как будет расположена касательная плоскость. Но иногда касательная плоскость располагается более хитро относительно поверхности (см. рис. на стр. 202).

Теперь строго определим понятие нормали. Нормаль — прямая, перпендикулярная к касательной плоскости.

После этого можно приступить к определению понятия главных радиусов кривизны. Проведем через нормаль какую-либо плоскость.

Ясно, что их можно провести бесконечное число. Но мы выберем для начала любую. При пересечении плоскости и поверхности образуется плоская кривая.

Всегда можно подобрать такую окружность, которая очень хорошо прилегает к этой кривой вблизи точки P. Точный смысл этих слов объяснять не будем, понадеявшись, что интуиция подскажет нужный образ.

Радиус этой прилегающей (соприкасающейся) окружности R называется радиусом кривизны плоской кривой. Так как через нормаль можно провести бесчисленное множество плоскостей, то мы получим бесчисленное число радиусов кривизны. Среди них есть наибольший и наименьший по абсолютной величине. Можно доказать, что плоские кривые, которым соответствуют наименьший и наибольший радиусы, взаимно перпендикулярны в точке P. Эти два радиуса, R₁ и R₂, и называются главными радиусами кривизны нашей поверхности в точке P.

Можно также доказать, что центры окружностей всегда расположены на нормали.

Если центры кривизны лежат по одну сторону от поверхности, точка P называется эллиптической. Если по разные — гиперболической. В этом случае один из главных радиусов следует считать отрицательным.

Наконец, есть еще и параболические точки. Это точки, где один из главных радиусов кривизны равен бесконечности. Гауссова кривизна в любой точке поверхности определяется так:

K = 1/R₁R₂.

Теперь можно составить табличку:

В эллиптической точке K > 0

В гиперболической точке K < 0

В параболической точке K = 0

Посмотрим, какими свойствами может обладать поверхность в целом. Представим какую-нибудь поверхность и попробуем покрыть ее плотно прилегающим куском материи.

Условия игры таковы. Нашу материю (естественно, первоначально это был плоский кусок) нельзя:

а) разрезать,

б) растягивать,

в) она должна покрывать поверхность без складок.

Если бы какая-нибудь дама предъявила подобные требования своему портному, он, вероятно, выгнал бы ее без дальнейших разговоров. И был бы прав.

А прежде чем идти дальше, я призываю читателей на секунду прервать чтение и самостоятельно представить, какими свойствами должна обладать фигура нашей гипотетической модницы, чтобы можно было удовлетворить ее требование.

После тех сведений о гауссовой кривизне, что мы имеем, ответ довольно прост.