В поисках бесконечности

Если слова "элемент x обладает свойством P>> обозначить для краткости P(x), то множество элементов, обладающих этим свойством, обозначают {x| P(x)}. Например, множество A = {x|x²-3x+2 = 0} состоит из всех корней уравнения x²-3x+2 = 0, а множество B = {x|x∈N и 0равными и пишут A = B = {1, 2}. Этот пример показывает, что, хотя понятия множества и его характеристического свойства тесно связаны друг с другом, они отнюдь не являются тождественными — одно и то же множество может задаваться различными характеристическими свойствами. Характеристические свойства, задающие одно и то же множество, называют обычно равносильными.<3}>

Во многих математических теоремах речь идет о совпадении двух множеств, например множества натуральных чисел, делящихся на 3, и множества натуральных чисел, сумма цифр десятичной записи которых делится на 3, или множества равносторонних треугольников и множества равноугольных треугольников. В некоторых случаях проблема совпадения или различия двух множеств, заданных своими характеристическими свойствами, не решена до сих пор. Например, неизвестно, совпадает ли множество натуральных чисел n, для которых уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ имеет решение в натуральных числах, с множеством {1,2} (так называемая великая теорема Ферма), совпадает ли множество простых чисел p, для которых 2^p-1 делится на p², с множеством {1093, 3511} и т. д.

Множества и реальный мир.

Мы уже говорили, что элементами множеств могут быть объекты самого различного вида. Специалисты в тех или иных областях науки имеют дело с множествами предметов и понятий, рассматриваемых в этих науках. Сейчас теоретико-множественные методы используются и в лингвистике, и в этнографии, и в физике. Лингвисты рассматривают, например, множество глаголов или множество падежей данного языка, этнографы — множество видов родственных отношений для членов данного племени, физики — множество молекул газа в данном объеме.

Все эти множества конечны и потому во многих случаях могут быть заданы своими перечнями. Например, учитель, изучая успеваемость в каком-нибудь классе средней школы, задает множество учеников этого класса их списком в классном журнале, библиотекарь задает списком (каталогом) множество книг в библиотеке, географ задает списком множество государств на земном шаре.

По мере развития физики элементарных частиц оказывается все более сложным делом описывать эти частицы на языке теории множеств, поскольку они все время превращаются друг в друга, причем из протона может получиться нейтрон, а из нейтрона — снова протон, так что слова "состоит из" утрачивают свой наглядный смысл.

При составлении множеств из объектов реального мира приходится обычно отождествлять те или иные предметы или понятия. Например, говоря о множестве слов русского языка, составитель словаря пренебрегает тем, что эти слова по-разному произносятся в разных областях страны. Для него эти варианты произношения несущественны и задают один и тот же элемент множества русских слов. По-иному подходят к тому же множеству диалектологи, для которых наиболее интересны именно различные варианты произношения.

Таким образом, говоря об элементах того или иного множества (как состоящего из реальных объектов, так и составленного из абстрактных понятий), мы осуществляем некоторую операцию отождествления, интуитивно чувствуя, что в данном случае она не приведет к противоречию. Иными словами, множества возникают из более расплывчатых понятий путем отождествления тех или иных элементов.

Другие осложнения при использовании теоретико-множественных понятий для изучения реального мира возникают из-за расплывчатости, нечеткости многих понятий, недостаточной определенности многих свойств предметов, трудности расчленения действительности на отдельные объекты. О некоторых из этих осложнений будет рассказано далее.

Разумеется, все указанные осложнения не могут послужить причиной для отказа от использования теоретико-множественного языка при описании действительности, при построении научных теорий. Они указывают лишь на то, что теоретико-множественная трактовка той или иной области наук налагает серьезные ограничения на наш подход к изучаемым явлениям, приводит во многих случаях к определенному "огрублению" этих явлений.