В поисках бесконечности

В то же время, как указывает Ю. И. Манин[41], понятия теории множеств весьма полезны при построении математических моделей явлений реального мира, так как они дают универсальную базу для определения всех математических конструкций на основе "обобщенно геометрических образов". Он пишет, что эти образы представляют собой вместилище смысла математических формализмов и в то же время средство для отбора содержательных утверждений из всего необозримого моря выводимых математических формул. Поэтому такие образы выступают в роли естественного посредника между математикой и физикой. По его мнению, теоретико-множественный язык хорош тем, что он не вынуждает говорить ничего лишнего.

Множества и язык.

Мы уже отмечали, что задание множеств реальных объектов с помощью их характеристических свойств наталкивается на затруднения. Эти затруднения связаны как с большим числом промежуточных форм, так и с недостаточной четкостью обыденного языка. Казалось бы, например, что множество русских слов однозначно определено и всем ясно, что ему принадлежат слова воин, конь, стоять и не принадежат слова table, legen, απειρον. Однако, раскрыв семнадцатитомный словарь русского языка, многие читатели встретят там незнакомые слова, принадлежность которых этому множеству им не была ранее известна. Кроме того, на протяжении веков в русском языке появлялись новые слова, иногда заимствованные из других языков, например хозяин или амбар — из тюркских языков, зонтик — из голландского, периферия — из греческого, другие же слова отмирали и исчезали.

Никто теперь не скажет кмети вместо воины, забыто и не применяется слово смерды, долгие споры ведут ученые о том, что значило слово харалужный. И всегда существовали слова, относительно которых не было уверенности, вошли ли они уже в словарный состав русского языка или, наоборот, сохранились ли они еще в нем. Например, в начале XIX в. адмирал А. С. Шишков отвергал такие слова, как галоши и , предлагая заменить их на мокроступы и окоем, а в середине того же века много спорили о том, следует ли сохранять в литературной речи слова сей и оный или они уже устарели. Как пишет в своих воспоминаниях писатель Юрий Трифонов, тонкий знаток русской речи К. А. Федин употреблял слова заочный и заочник, лишь взяв их в кавычки, поскольку считал, что они чересчур новомодны.

По указанным причинам многие ученые предпочитают не считать совокупность русских слов множеством. В то же время русские слова, содержащиеся в том же семнадцатитомном словаре, несомненно, образуют множество — о каждом слове можно наверняка сказать, встречается оно в этом словаре или нет.

Не является вполне определенным термин множество планет Солнечной системы. Не говоря уже о том, что мы не знаем сейчас, существуют ли планеты за Плутоном, надо иметь в виду, что кроме больших планет — Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона — вокруг Солнца обращается около 1600 малых планет, так называемых астероидов. Поперечники некоторых из них, например Цереры, Паллады, Юноны, измеряются сотнями километров, но есть и астероиды, поперечники которых не превышают 1 км. По мере улучшения методов наблюдения астрономы будут открывать небесные тела все меньших размеров, и наконец возникнет вопрос, где же кончаются планеты и начинаются метеориты и космическая пыль.

Впрочем, разница между планетами и метеоритами интересует в основном астрономов и не столь уже важна. Но для юриста разница между грабежом, кражей со взломом, похищением и другими видами преступлений является существенно важной — от той или иной квалификации преступления зависит приговор суда. Поэтому при формулировке законов и постановлений всегда стремятся к четким и недвусмысленным определениям для всех встречающихся в них понятий. Например, определяя, кто имеет право бесплатного проезда по железным дорогам СССР, пишут не "маленькие дети", а "дети до пяти лет". Тем самым четко определено, кто из детей имеет это право, а кто нет. Единственным исключением является случай, когда малолетнему пассажиру доведетcя праздновать день рождения в пути[42] но это настолько маловероятно, что правила об этом ничего не говорят. Правда, рассказывают, что один пунктуальный отец включил стоп-кран в момент, когда его сыну исполнилось пять лет, чтобы точно определить оставшийся отрезок пути, за который следовало уплатить.

Нечеткие множества.