В поисках бесконечности

А Фома Брадвардин[17] в XIV в. приходит даже к мысли, что может существовать пустота без материи. Более того, нашлись схоласты, которые отвергали положение Аристотеля о несуществовании актуальной бесконечности. Так называемые инфинитисты утверждали, что понятие актуальной бесконечности не содержит в себе никакого противоречия и потому такая бесконечность может существовать. Джон Баконтроп[18] в начале XIV в. утверждал, что актуально бесконечной может быть любая величина: число, время, совокупность тел, а также что тело можно разделить на бесконечно много частей. Это подрывало фундамент всей космологии Аристотеля.

Окончательное разрушение античной космологии произошло в XV-XVI столетиях и связано с именами Николая Кузанского[19] и Джордано Бруно. Первый из них развил учение о максимуме, то есть о том, больше чего ничто не может быть. Оно явилось одним из наивысших достижений диалектической мысли эпохи Возрождения и подготовило революцию не только в космологии, но и в математическом способе мышления. Например, Николай Кузанский утверждал, что прямая является окружностью бесконечного радиуса, и рассматривал не отдельные фигуры, а предельные положения фигур при том или ином изменении их формы.

Понятие бесконечности привлекло к себе внимание и астрономов. В великом творении Николая Коперника утверждается, что расстояние между Землей и Солнцем неощутимо мало по сравнению с высотой небесной тверди. Звездную же сферу он считал в высшей степени подобной бесконечному. Иногда он говорил даже, что Небо неизмеримо велико по сравнению с Землей и представляет бесконечно большую величину. Однако решение вопроса о том, что является ли Вселенная бесконечной или лишь неизмеримо большой, он оставляет другим ученым.

Последний шаг в разрушении старых догм сделал Джордано Бруно, заплативший жизнью за свой научный подвиг. Он писал: "Итак, вселенная едина, бесконечна, неподвижна... Она никоим образом не может быть схвачена и потому неисчислима и беспредельна, а тем самым бесконечна и безгранична и, следовательно, неподвижна. Она не движется в пространстве, ибо ничего не имеет вне себя, куда бы могла переместиться, ввиду того что она является всем. Она не рождается... так как она является всем бытием. Она не уничтожается, так как нет другой вещи, в которую она могла бы превратиться... Она не может уменьшаться или увеличиваться, так как она бесконечна".

Так произошло освобождение человеческого духа от сковывающих его ограничений. Дух нового времени Бруно выразил в следующих стихах:

Кристальной сферы мнимую преграду,
Поднявшись ввысь, я смело разбиваю
И в бесконечность мчусь, в другие дали.
Кому на горе, а кому в отраду,-
Я Млечный Путь внизу вам оставляю...

Конечно, для многих этот открывшийся умственному взору новый мир был весьма неуютен — оказались разрушены небесные сферы, заключавшие в себе упорядоченный космос античности и средневековья. Мир предстал перед человеком как помещенный в ничто, окруженный этим ничто и насквозь пронизанный им. В начале XVII в. парижский парламент издал постановление, предписывавшее предавать смертной казни всех, кто выступит с полемикой против старых и общепризнанных авторов. А святейшая инквизиция провела в то же время два процесса над крупнейшим физиком и математиком того времени Галилео Галилеем и под угрозой сожжения на костре принудила к публичному отречению от идей Коперника и Бруно, а потом приговорила к пожизненному домашнему заключению.

Но времена менялись. Чтобы решать поставленные практикой задачи, ученым все чаще и чаще приходилось применять запрещенные аристотелевой наукой приемы, использовать неделимые и бесконечно малые величины. Вновь усиливается интерес к атомизму Демокрита. Используя "незаконные" приемы, Иоганн Кеплер получил формулы для объемов тел, к вычислению которых ревнители античной строгости не знали, как и подступиться. Эти методы он применил и в своих бессмертных работах, где были установлены законы движения планет вокруг Солнца. Итальянский математик Бонавентура Кавальери[20], используя идеи своего учителя Галилея, написал книгу "Геометрия, изложенная новым методом при помощи непрерывного". В ней он выдвинул принципы, позволявшие общими методами определять площади и объемы различных фигур. К концу XVII в. методы решения самых разнообразных задач, основанные на использовании бесконечно больших и бесконечно малых величин, были систематизированы и упорядочены в работах английского физика и математика Исаака Ньютона и немецкого математика и философа Готфрида Вильгельма Лейбница. Так возникло одно из самых замечательных творений человеческого разума — математический анализ (дифференциальное и интегральное исчисления). С помощью методов математического анализа можно было, зная силы, действующие на движущееся тело, определить его траекторию, в частности определить орбиты планет и комет.