В поисках бесконечности

Тягу к большим числам испытывали и древние обитатели Индии. В их сказаниях рассказывается, например, о битвах, в которых приняло участие 10²³ обезьян, об испытаниях Будды, в ходе которых он называл громадные числа, и о многих таких же вещах. Веселой игре с числами не мешало то обстоятельство, что вся Солнечная система по смогла бы вместить столько обезьян — в ней находила свое воплощение идея о бесконечности, завораживавшая не только греков, но и индийцев. И Архимед, и индийские математики испытывали восторг от мысли, что создано символическое исчисление, позволяющее на небольшой восковой дощечке или листе папируса выразить столь необъятные числа и выйти за пределы данного наглядным созерцанием.

Загадочные апории [6] .

Идея бесконечности проникала в науку не только в связи с вопросами о том, есть ли границы у Вселенной, и было ли начало, и будет ли конец мира. Одним из самых жгучих вопросов, над которым билась мысль древнегреческих философов, явилось устройство мира в малом. Повседневный опыт учил, что вынутый из печи хлеб можно разделить между двумя, тремя, от силы десятью участниками трапезы, а если раскрошить его, то получится все же не более мириады, то есть десяти тысяч крошек. Можно ли делить далее этот хлеб, есть ли вообще предел для делимости материальных предметов на части? Ответить на этот вопрос, опираясь только на опыт, было невозможно. Здесь речь шла о столь мелких частицах, что разглядеть их не смог бы и сам рысьеглазый Линией, легендарный впередсмотрящий на корабле аргонавтов. Поэтому вопрос о пределе делимости вещей перешел из сферы опыта в сферу умозрительных рассуждений.

Одни философы утверждали, что предела делимости вещества нет. Анаксагор говорил, что "в малом не существует наименьшего, но всегда есть еще меньшее. Ибо то, что существует, не может перестать существовать от деления, как бы далеко ни было продолжено последнее". Он считал, что непрерывное не может состоять из дискретных элементов, которые "отделены друг от друга и как бы отрублены друг от друга ударами топора". Надо думать, что собрание отдельных точек представлялось Анаксагору и его сторонникам чем-то вроде кучи пыли, а непрерывное — чем-то вроде бронзового или железного меча.

Другая школа, ведшая свое начало от пифагорейцев, полагала, что существуют наименьшие частицы вещества — атомы, которые уже далее не делятся в силу своей твердости (атом и значит по-гречески "неделимый"). Эти идеи были развиты Левкиппом[7] и Демокритом. Атомисты ввели понятие и о неделимых частях пространства (амерах), не имеющих ни частей, ни размеров. Некоторые ученые полагают, что эти идеи восходят к Демокриту, другие приписывают их Эпикуру[8]. Решить этот спор весьма затруднительно, так как до нас дошли лишь скудные отрывки из многочисленных сочинений Демокрита.

Борьба между двумя школами философов обострилась после того, как в середине V в. до н. э. греческий философ Зенон Элейский[9] показал, к каким парадоксальным следствиям ведет при неосторожном обращении предположение о безграничной делимости пространства и времени. Наиболее известны апории Зенона "Стрела" и "Ахиллес и черепаха". В первой из них доказывалось, что... летящая стрела неподвижна. Ведь, говорил Зенон, стрела, прежде чем попасть в цель, должна пролететь половину пути, а до этого — одну четверть пути, еще ранее — одну восьмую пути и т. д. А так как пространство безгранично делимо, то процесс деления пополам никогда не окончится. Поэтому стрела никогда не начнет движения и всегда будет неподвижна. В апории "Ахиллес и черепаха" таким же образом доказывалось, что быстроногий Ахиллес, пробегающий в минуту 10 стадиев, никогда не нагонит медлительную черепаху, делающую 1 стадий в минуту.

Выводы Зенона об отсутствии движения в реальном мире опровергались повседневным опытом. Известный философ-киник Диоген[10], услышав про рассуждения Зенона, просто встал и начал ходить (этому происшествию посвящено известное стихотворение А. С. Пушкина "Движенья нет, сказал мудрец брадатый..."). Тем не менее аргументы Зенона показали, что представления о бесконечности, господствовавшие в тогдашней математике, были весьма наивны. В частности, Зенон впервые показал, что отрезок можно разложить на бесконечное множество частей, каждая из которых имеет ненулевую длину. Если заменить геометрический отрезок конечным отрезком времени, то из его рассуждений вытекало еще более парадоксальное утверждение: за 1 час можно произнести названия всего бесконечного ряда натуральных чисел. Для этого достаточно в течение первого получаса назвать первое число, в течение следующей четверти часа — второе число, за следующую восьмую долю часа — третье число и т. д. Получалось, что бесконечное можно поместить в конечном — бесконочный числовой ряд в конечном промежутке времени.