В поисках бесконечности

Разумеется, реальное осуществление такой попытки невозможно — ведь уже число 100 придется произносить за 2^-100 часа, а самый быстрый из процессов, известных современной науке, длится неизмеримо дольше. Достичь такой быстроты невозможно и потому, что никакая информация не может передаваться со скоростью, большей, чем скорость света, а при попытке делить пространство на все более мелкие части начинают проявляться его квантовые свойства. Но ведь все это соображения, лежащие в области свойств реального мира, а Зенон, как мы бы теперь сказали, исследовал одну из математических моделей этого мира, модель, в которой допускалось неограниченное деление пополам и отрезков, и промежутков времени, так что для него доводы физиков роли не играли.

Па протяжении веков много раз менялось отношение к апориям Зенона. Иногда казалось, что они полностью опровергнуты, но внимательный анализ показывал, что на каждом уровне знаний всегда остается что-то невыясненное, какой-то зародыш новых трудностей, новых противоречий и нового знания. Известный специалист по теории бесконечных множеств и основаниям математики А. Френкель[11] писал по этому поводу:

"Преодоление пропасти между областью дискретного и областью непрерывного, или между арифметикой и геометрией, есть одна из главных,- пожалуй, даже самая главная проблема оснований математики... Характер рассуждений теперь, конечно, изменился, но трудности, как и прежде, возникли в связи с пропастью между дискретным и непрерывным — этим неизменным камнем преткновения, играющим в то же время чрезвычайно важную роль в математике, философии и даже физике".

Позднее мы познакомимся с другими парадоксами бесконечного , по сравнению с которыми апории Зенона могут показаться весьма наивными. Но известный советский философ Г. И. Наан[12] заметил, что, возможно, человечество никогда не сможет опровергнуть элейского философа на все сто процентов, поскольку бесконечность неисчерпаема, а Зенону удалось схватить в наивной, но гениальной форме три вечные проблемы, тесно связанные друг с другом и с проблемой бесконечности: проблему ничто, проблему непрерывности и проблему существования. Не случайно Аристотель называл Зенона "основателем диалектики", а Гегель видел в нем родоначальника диалектики в современном смысле слова.

Не обошлось, конечно, и без попыток использовать апории Зенона на пользу идеализма. Один видный немецкий философ-идеалист сказал даже, что в этих апориях бесконечность выступает как растворитель действительности.

Мы не будем сейчас подробнее останавливаться на роли апорий Зенона в физике и философии.

Для математики их роль состояла в том, что они вскрыли противоречивость дискретного и непрерывного, показали недопустимость легкомысленного обращения с бесконечностью. После Зенона нельзя уже было по примеру софиста Антифонта[13] считать круг многоугольником с бесконечным числом сторон и таким путем вычислять его площадь. Началась эпоха изгнания бесконечного из математики.

Одну из отчаянных попыток избежать бесконечных процессов в геометрии предпринял Демокрит. Он попробовал построить геометрию на основе своего учения об атомах. Если бы эта попытка удалась, геометрия приняла бы совсем иной вид. Но еще до появления на свет Демокрита в школе Пифагора было доказано, что сторона квадрата несоизмерима с его диагональю. А этого никак не могло случиться, если бы и сторона квадрата и его диагональ состояли из конечного числа неделимых частей. Кроме того, хотя Демокрит и сумел своим методом вычислить объем пирамиды, он не мог понять, равны ли соседние сечения пирамиды — если они равны, то пирамида не может сужаться к вершине, а если они различны, то пирамида шершава. Поэтому его учебник геометрии был вытеснен знаменитыми "Началами" Евклида, основанными на идее безграничной делимости пространства, а философам пришлось искать иные пути для опровержения апорий Зенона.

На зыбкой почве.

Много размышлял о бесконечности и ее свойствах один из величайших философов древности Аристотель. Говоря в своих сочинениях об этом предмете, он предупреждает, что здесь приходится ходить по очень зыбкой почве. Слишком много противоречий накопилось вокруг этого понятия со времен Зенона и Демокрита. Поэтому Аристотель признавал, что "много невозможного следует и за отрицанием существования бесконечного, и за признанием". Он указывал на пять оснований, приводящих к мысли о существовании бесконечности. Четырьмя из них были: бесконечность времени, бесконечное разделение величин, используемое в математике, необходимость бесконечности, чтобы не иссякли возникновение и уничтожение, и то, что конечное всегда граничит с чем-нибудь, а потому не может быть предела конечному. Самым же важным основанием Аристотель считал пятое, а именно что мышление ни на чем не останавливается: и число кажется бесконечным, и математические величины, и то, что лежит за небом. А если лежащее за небом бесконечно, говорил он, то существует множество миров.