Величайшие математические задачи

Если наш муравей столь же умен, как Пуанкаре и другие топологи того времени, он сможет превратить эту идею в элегантный топологический инвариант — гомологическую группу своей поверхности. Базовая идея заключается в том, чтобы «сложить» две петли, нарисовав их обе. Однако то, что получилось, не является петлей, поэтому нам придется вернуться и начать заново. Более того, вернуться нам придется в самое начало, в те дни, когда мы только начинали свое знакомство с алгеброй. Моя учительница математики для начала поведала нам, что можно сложить количество яблок в одной кучке с количеством яблок в другой и получить общее количество яблок. Но нельзя сложить яблоки с апельсинами — разве что если хотите узнать общее число фруктов.

Сказанное верно в арифметике, хотя даже там приходится быть внимательным, чтобы не сосчитать одно и то же яблоко дважды, а в алгебре это уже неверно. Там вы можете складывать яблоки с апельсинами, не смешивая их. Более того, в высшей математике принято складывать вещи, которые никто в здравом уме и выдумывать-то не стал бы, не то что складывать. Свобода заниматься подобными вещами оказывается поразительно полезной и важной, и придумавшие их математики вовсе не были сумасшедшими, по крайней мере в этом отношении.

Для понимания некоторых идей, связанных с гипотезой Ходжа, мы должны иметь возможность складывать яблоки и апельсины, не записывая их все в обычные фрукты. Делать это на самом деле несложно. Сложно признать, что в этом занятии есть какой-то смысл. Многим из нас доводилось встречаться с подобными концептуальными блоками. Моя учительница рассказывала классу, что буквами обозначаются неизвестные числа, причем разные неизвестные числа обозначаются разными буквами. Если у вас есть a яблок и еще a яблок, то общее число яблок будет a + a = 2a. И это верно, сколько бы в реальности ни было яблок. Если вы возьмете 3a яблок и прибавите к ним еще 2a яблок, то всего получится 5a, сколько бы в реальности ни было яблок. Сам символ, как и то, что он представляет, вовсе не имеет значения: если бы вместо 3a яблок у вас было 3b апельсинов, к которым вы прибавляли бы 2b апельсинов, то результат был бы 5b{42}. Но что произойдет, если у вас будет 3a яблок и 2b апельсинов? Что будет, если сложить 3a и 2b?

3a+ 2b.

Вот и все. Эту сумму невозможно упростить и превратить в 5 чего-нибудь: по крайней мере нельзя без некоторых манипуляций с новой категорией — фруктами — и каких-то новых уравнений. Это лучшее, что можно получить: удовлетворитесь этим. Однако, начав с этого, вы вскоре сможете производить такие действия, как:

(3a+ 2b) + (5a — b) = 8a+b

без всяких дополнительных рассуждений. И без новых видов фруктов.

Есть, правда, кое-какие оговорки. Я уже отметил, что при складывании яблока и яблока два яблока получится только в том случае, если первое яблоко не идентично второму. То же можно сказать и о более сложных комбинациях яблок и апельсинов. В алгебре считается, что для целей сложения все яблоки, о которых идет речь, различны между собой. Вообще-то принять такое условие часто имеет смысл даже в тех случаях, когда два яблока — или что мы там складываем — на самом деле могут оказаться идентичными. Одно яблоко плюс еще раз то же самое яблоко будет яблоко с кратностью два.

Привыкнув к этой идее, вы сможете пользоваться ею везде. Одна свинья плюс та же свинья получается свинья с кратностью два: свинья + свинья = 2 свиньи, что бы ни скрывалось на самом деле под словом «свинья». Свинья плюс корова будет свинья + корова. Треугольник плюс три круга будет треугольник + три круга. Суперпуперсфера плюс три гиперэллиптических квазикучи будет

суперпуперсфера + три гиперэллиптических квазикучи,

что бы все эти специальные термины ни означали (в данном случае ничего).

Можно даже разрешить отрицательные числа и говорить о вычитании 11 коров из трех свиней: 3 свиньи — 11 коров. Я понятия не имею, что представляют собой минус 11 коров, но я могу быть уверен, что если я прибавлю к ним шесть коров, то получу минус пять коров{43}. Это формальная игра с символами, и никакая реалистичная интерпретация здесь не требуется, не нужна или — зачастую — невозможна. Можно разрешить действительные числа: π свиней минус √2 коров. Комплексные числа. Любые сколь угодно причудливые числа, которые взбредут в голову математику. Этой идее можно придать чуть больше лоска и респектабельности, если рассматривать числа как бирки, навешенные свиньям и коровам. Тогда π свиней минус √2 коров можно рассматривать как свинью с биркой π рядом с коровой с биркой — √2. Арифметика здесь применяется к биркам, а не к животным.

В гипотезе Ходжа тоже фигурирует подобная конструкция с дополнительными рюшечками и украшениями. Вместо животных в ней используются кривые, поверхности и их многомерные аналоги. Может показаться странным, но в результате получается не просто абстрактная чепуха, а глубокая связь между топологией, алгеброй, геометрией и анализом.