Величайшие математические задачи

Как увеличивается компьютерное время, необходимое для вычислений, с ростом объема исходных данных? При тестировании на простоту исходные данные — это не само число, а число знаков в нем. Ключевое различие в этом случае проводится между двумя группами алгоритмов — алгоритмами, принадлежащими и не принадлежащими к классу P. Если время работы алгоритма растет как некая фиксированная степень от размера исходных данных, то алгоритм принадлежит к классу P; в противном случае — не принадлежит. Грубо говоря, алгоритмы класса P полезны, тогда как те, что не принадлежат к этому классу, непрактичны. Существует, однако, промежуточная полоса своеобразной ничьей земли, где в ход идут другие соображения. Класс P получил название от понятия «полиномиальное время» — именно так замысловато математики говорят о постоянных степенях. Мы еще вернемся к теме эффективных алгоритмов позже, в главе 11.

По стандартам класса P метод пробного деления работает из рук вон плохо. На школьном уровне, где для проверки предлагаются двух— или трехзначные числа, с ним все в порядке, но при работе со 100-значными числами он абсолютно безнадежен. В общем, пробное деление никак не укладывается в P-класс. Если быть точным, то время выполнения этого алгоритма для любого n-значного числа приблизительно равняется 10ⁿ/2, а эта величина растет быстрее, чем любая фиксированная степень n. С таким типом роста, известным как экспоненциальный, по-настоящему трудно иметь дело, это страшный сон любого, кто занимается вычислениями.

До 1980-х гг. у всех известных алгоритмов проверки на простоту, за исключением вероятностных или тех, надежность которых оставалась недоказанной, время вычислений росло экспоненциально. Однако в 1983 г. был найден алгоритм, очень соблазнительно лежащий на ничьей земле вблизи P-территории: это уже упоминавшийся тест Адлемана — Померанса — Румели. Его улучшенная версия, разработанная Генри Коэном и Хендриком Ленстрой, имела время вычисления n в степени log log n, где log — обозначение логарифма. Технически log log n может быть сколь угодно большим, поэтому данный алгоритм не относится к P-классу. Однако это не мешает ему быть пригодным к практическому использованию: если n — гуголплекс, т. е. 1 с 10¹⁰⁰ нулями, то log log n равен примерно 230. Старая шутка гласит: «Доказано, что log log n стремится к бесконечности, но никто никогда не видел, как он это делает».

Первый тест на простоту, принадлежащий к P-классу, открыли в 2002 г. Маниндра Агравал и его студенты-дипломники Нирадж Каял и Нитин Саксена. В Примечаниях можно прочитать об этом немного подробнее{2}. Они придумали алгоритм и доказали, что время его выполнения растет пропорционально не более чем n¹²; очень скоро эта величина была уменьшена до n^7,5. Однако, несмотря на то что их алгоритм относится к P-классу и, соответственно, считается «эффективным», его преимущества не проявляются до тех пор, пока n не становится очень и очень большим. По идее этот алгоритм должен побить тест Адлемана — Померанса — Румели, когда число знаков в n приблизится к 10¹⁰⁰⁰. Но такое большое число невозможно разместить не только в память компьютера, но и вообще в известной Вселенной. Зато теперь мы точно знаем, что алгоритмы P-класса для проверки простоты числа существуют. Ясно, что поиск лучших алгоритмов в этой категории — дело стоящее. Ленстра и Померанс снизили степень с 7,5 до 6. Если еще некоторые предположения о свойствах простых чисел подтвердятся, степень можно будет снизить до 3, что приблизит нас к практическому применению подобных алгоритмов.

Но самое интересное в алгоритме Агравала — Каяла — Саксены — не результат, а метод. Он прост — по крайней мере для математиков — и отличается новизной. В основе его лежит вариант теоремы Ферма, но, вместо того чтобы работать с числами, команда Агравала использовала многочлены. Многочлен, или полином, — это комбинация степеней переменной x, такая, к примеру, как 5x³ + 4x − 1. Многочлены можно складывать, вычитать и перемножать, и обычные алгебраические законы на них тоже распространяются. В главе 3 мы поговорим о многочленах подробнее.