Величайшие математические задачи

По-настоящему великолепная идея: расширить пространство дискурса и перенести проблему в новую область. Это тот самый случай, когда идея проста настолько, что нужно быть гением, чтобы разглядеть ее. Первый намек на нее проскользнул в статье Агравала и его научного консультанта Сомената Бисваса: авторы предложили вероятностный тест на простоту, основанный на аналоге теоремы Ферма в мире полиномов. Агравал был убежден, что вероятностный компонент этого метода может быть устранен. В 2001 г. его студенты пришли к нему с очень важным техническим замечанием. Начав в нем разбираться, команда углубилась в дебри теории чисел, но постепенно, со временем, все замечания удалось свести к единственному препятствию — вопросу существования простого числа p, такого, чтобы число p − 1 имело бы достаточно большой простой делитель. Несколько консультаций с коллегами и поиск в Интернете помогли обнаружить теорему, которую Этьен Фуври доказал в 1985 г. при помощи сложных формальных методов. Именно этого команде Агравала недоставало, чтобы доказать работоспособность алгоритма, и последняя деталь головоломки точно встала на место.

В те времена, когда теория чисел пребывала в своей башне из слоновой кости, вся эта история прошла бы незамеченной и никак не повлияла бы на жизнь остального мира. Но в последние 20 лет простые числа приобрели огромный вес в криптографии — науке о шифрах. Шифры важны не только для военных, у коммерческих компаний тоже хватает секретов. Сегодня, в век Интернета, секреты есть у каждого из нас: мы не хотим, чтобы преступники получили доступ к нашим банковским счетам и номерам кредитных карт. Мало того, все чаще в преступных целях используются и другие личные данные, так что хотелось бы уберечь их все, вплоть до клички домашней кошки. Но Интернет невероятно удобен при оплате счетов, страховании машин и заказе всего, что необходимо для поездки на отдых, и всем нам приходится мириться с риском того, что ценная частная информация попадет не в те руки.

Производители компьютеров и интернет-провайдеры пытаются снизить этот риск, предлагая пользователям различные системы шифрования. Надо сказать, что внедрение компьютеров изменило как саму криптографию, так и криптоанализ — искусство взлома шифров. В настоящее время разработано множество новых шифров. Один из самых известных шифров, который в 1978 г. придумали Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман, основан на использовании простых чисел. Больших простых чисел, примерно 100-значных. Система Ривеста — Шамира — Адлемана (известная как RSA) используется во многих компьютерных операционных системах, встроена в основные протоколы безопасного интернет-соединения, ею широко пользуются правительства, корпорации и университеты. Конечно, не каждое новое открытие, имеющее отношение к простым числам, может повлиять на безопасность вашего банковского счета, но это добавляет теме интереса. Как только удается выяснить что-то новое, что помогает связать простые числа и компьютерные вычисления, это привлекает повышенное внимание. Так случилось и с тестом Агравала — Каяла — Саксены, хотя при всей своей математической элегантности и важности непосредственного практического значения он не имеет.

Тем не менее он позволил немного под другим углом рассмотреть общий вопрос криптографии по Ривесту — Шамиру — Адлеману, и результат вызывает некоторые опасения. До сих пор не существует ни одного алгоритма P-класса для решения второй из названных Гауссом задач — разложения на простые множители. Большинство специалистов сходятся во мнении, что такого алгоритма не существует, но в последнее время их уверенность несколько поколебалась. Поскольку где-то за кулисами, совсем рядом, могут скрываться и другие открытия, подобные тесту Агравала — Каяла — Саксены и основанные на таких же простых идеях, как полиномиальная версия теоремы Ферма (и не важно, что пока о них никто даже не подозревает), может оказаться, что системы шифрования, основанные на разложении числа на простые множители, не настолько надежны, как нам хочется верить. Так что пока не стоит раскрывать в Интернете кличку вашей кошки!