Величайшие математические задачи

Решето Эратосфена — не просто историческая диковинка, это и сегодня один из наиболее эффективных методов составления длинных списков простых чисел. А родственные ему методы позволили достичь значительного прогресса в решении самой знаменитой, наверное, из великих нерешенных проблем, имеющих отношение к простым числам: проблемы Гольдбаха. Немецкий математик-любитель Кристиан Гольдбах переписывался со многими знаменитостями своего времени. В 1742 г. в письме к Леонарду Эйлеру он изложил несколько любопытных гипотез, связанных с простыми числами. Позже историки заметили, что Рене Декарт ранее писал примерно то же самое. Первое из утверждений Гольдбаха звучало так: «Всякое целое число, которое можно представить как сумму двух простых, можно записать также как сумму произвольного числа простых, пока все слагаемые не станут единицами». Второе утверждение, добавленное уже на полях письма, гласило: «Всякое целое число больше двух можно представить как сумму трех простых». Сегодняшнее определение простого числа предполагает очевидные исключения из обоих утверждений. Так, 4 не есть сумма трех простых, поскольку наименьшее простое число — 2, и сумма трех простых не может быть меньше 6. Однако во времена Гольдбаха число 1 считалось простым. Разумеется, его утверждения можно переформулировать в соответствии с современными представлениями.

В ответном письме Эйлер припомнил предыдущий разговор с Гольдбахом, когда тот указал, что первое его заявление является следствием более простой, третьей гипотезы: «Всякое четное целое есть сумма двух простых». С учетом общепринятого представления о 1 как о простом числе из этого утверждения прямо следует вторая гипотеза, поскольку любое число можно выразить как n + 1 или n + 2, где n — четное. Если n есть сумма двух простых, то исходное число есть сумма трех простых. Мнение Эйлера о третьем заявлении было однозначным: «Я считаю, что это, несомненно, верная теорема, хотя и не могу ее доказать». Собственно, на сегодняшний день статус этой гипотезы практически не изменился.

Современный подход, при котором 1 — не целое число, разбивает гипотезу Гольдбаха на две части. Вариант для четных чисел (так называемая бинарная проблема Гольдбаха) гласит: любое четное целое число больше двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

А вот вариант для нечетных (известный как тернарная проблема Гольдбаха): любое нечетное число больше 5 можно представить в виде суммы трех простых чисел.

Из бинарной гипотезы автоматически следует тернарная, но не наоборот{4}. Есть смысл рассматривать эти гипотезы по отдельности, поскольку мы до сих пор не знаем точно, верна ли хоть одна из них. Но, похоже, тернарная проблема немного проще, в том смысле что продвинуться в этом направлении удалось заметно дальше.

Бинарную гипотезу Гольдбаха для малых чисел можно подтвердить несложными вычислениями:

4 = 2 + 2;

6 = 3 + 3;

8 = 5 + 3;

10 = 7 + 3 = 5 + 5;

12 = 7 + 5;

14 = 11 + 3 = 7 + 7;

16 = 13 + 3 = 11 + 5;

18 = 13 + 5 = 11 + 7;

20 = 17 + 3 = 13 + 7.

Несложно продолжить ряд примеров вручную, скажем, до 1000 или около того, а можно и дальше, если хватит терпения. К примеру, 1000 = 3 + 997, а 1 000 000 = 17 + 999 983. В 1938 г. Нильс Пиппинг проверил бинарную гипотезу Гольдбаха для всех четных чисел вплоть до 100 000.

При этом выявилась общая тенденция: чем больше само число, тем больше способов представить его в виде суммы простых. Это отвечает здравому смыслу. Если вы возьмете большое четное число и начнете вычитать из него по очереди простые числа, с какой вероятностью все результаты этих действий окажутся составными? Достаточно в списке разностей появиться хотя бы одному простому числу, — и можно считать, что гипотеза для исходного числа подтверждена. Обратившись к статистическим свойствам простых чисел, можно оценить вероятность такого исхода. В 1923 г. аналитики Харольд Харди и Джон Литлвуд проделали такую операцию и вывели правдоподобную, но нестрогую формулу для числа способов представления заданного четного n в виде суммы двух простых чисел: это число приблизительно равно n/[2 (log n)²]. Это число увеличивается с ростом n и, кроме того, хорошо согласуется с числовыми данными. Но даже если математикам удалось бы сделать эту формулу точной, невозможно было бы исключить возможность того, что из нее существуют очень редкие, но все же исключения, так что формула не слишком помогает.