Величайшие математические задачи

Тем временем другие исследователи продвигаются снизу вверх, начиная с маленьких чисел, и доказывают, часто при помощи компьютерных расчетов, что, скажем, каждое число, меньшее или равное 10¹², может быть выражено с использованием не более шести тех самых чисел. Примерно за год 10¹² превращается (за пять последовательных шагов, усилиями разных исследователей или групп) в 11,0337 × 10²⁹. Следует отметить, что ни один из перечисленных шагов не является ни рутинным, ни простым; напротив, они совершаются с привлечением хитроумных специальных методов, которые ничего не говорят о более общем подходе, и доказательство при каждом последовательном шаге становится все более сложным и длинным. Через несколько лет такого постепенного продвижения это число при помощи примерно тех же идей, но более мощных компьютеров и новых ухищрений удается поднять до 10⁴³. На этом, однако, метод стопорится, и все сходятся во мнении, что никакие уловки не помогут таким способом доказать полный вариант.

Гипотеза пропадает из виду, над ней уже никто не работает. Бывает, что продвижение почти совсем останавливается. Иногда без новостей проходит лет 20… И вдруг, как гром среди ясного неба, какие-нибудь Чизбургер и Чипс заявляют, что им удалось получить полное доказательство, переформулировав гипотезу в терминах комплексных метаэргодических квазимножеств и приложив теорию византийского квислинга. После нескольких лет споров о тонких моментах логики и затыкания нескольких дыр в доказательстве математическое сообщество признает его корректным и немедленно задается вопросами, не существует ли более простого способа получить тот же результат и нельзя ли его улучшить.

В последующих главах вы не раз увидите эту схему в действии. Но если рассказывать обо всем этом подробно, то может получиться довольно скучно, поэтому я не буду перечислять всех, кому удалось более точно определить экспоненту в гипотезе Джекила — Хайда, выяснив, что это не 1,773, а 1,771 + e для любого положительного e (как бы ни гордились Баггинс и Крумм своим последним достижением на этой ниве). Я опишу несколько значимых вкладов, оставив все другие за скобками. И дело не в том, что работа Баггинса и Крумма кажется мне незначительной. Может быть, она даже вымостила дорогу к прорывному открытию Чизбургера — Чипса. Но, по правде говоря, только специалисты, внимательно следящие за развитием событий, могут затаив дыхание ждать следующего крошечного шажка.

Поэтому в будущем я буду опускать некоторые подробности, но сейчас давайте посмотрим, как развивался процесс в случае с проблемой Гольдбаха.

Уже доказаны некоторые теоремы, помогающие продвинуться по пути решения проблемы Гольдбаха. Первый серьезный прорыв произошел в 1923 г., когда Харди и Литлвуд при помощи своих аналитических методов доказали тернарную гипотезу Гольдбаха для всех достаточно больших нечетных чисел. Однако их доказательство опиралось на другую великую проблему — обобщенную гипотезу Римана, о которой мы поговорим в главе 9. Эта проблема до сих пор остается нерешенной, так что в доказательстве Харди и Литлвуда есть существенный пробел. В 1930 г. Лев Шнирельман сумел заполнить этот пробел при помощи замысловатого варианта их собственных рассуждений, основанных на методах решета. Он доказал, что ненулевая доля всех чисел может быть представлена в виде суммы двух простых. Добавив к этому результату некоторые общие рассуждения о сложении последовательностей, он доказал, что существует такое целое число С, что любое натуральное число есть сумма не более С простых чисел. Это число получило известность как постоянная Шнирельмана. В 1937 г. аналогичные результаты получил Иван Виноградов, но его метод также не позволял сказать конкретно, насколько велики «достаточно большие» числа. В 1939 г. Константин Бороздин доказал, что они начинаются не позже чем с числа 3^14 348 907. К 2002 г. Лю Минчит и Ван Тяньцзэ снизили границу «достаточно больших чисел» до e³¹⁰⁰, что равняется примерно 2 × 10¹³⁴⁶. Это число гораздо меньше, но все же слишком велико для того, чтобы все нижележащие числа можно было проверить перебором на компьютере.