Величайшие математические задачи

Можно сыграть в ту же игру в более широком диапазоне, с более высоким верхним пределом — скажем, до одного миллиона. Формула, известная как теорема о распределении простых чисел (см. главу 9), дает нам возможность подсчитать количество простых чисел в интервале до любого заданного числа x. Эта оценка — x/log x. В интервале до 1 000 000 количество простых оценивается по этой формуле в 72 380. (Точное их число 78 497.) Серый фон занимает около четверти соответствующей таблицы, поэтому в нем примерно n²/4 = 250 млрд выделенных чисел — столько в этом диапазоне возможных сумм двух простых. Это намного больше, чем количество четных чисел в этом же диапазоне (их полмиллиона). Теперь перекрытие должно быть гигантским, а суммы должны возникать в среднем по 500 000 раз каждая. Так что шанс на то, что какое-то четное число окажется пропущено, многократно снижается.

Приложив еще некоторые усилия, мы можем с помощью этого метода оценить вероятность того, что некое четное число в заданном диапазоне не окажется суммой двух простых, исходя из того, что простые числа распределяются случайно с периодичностью, описываемой теоремой о распределении простых чисел, т. е. что в диапазоне до любого заданного x находится около x/log x простых чисел. Именно это сделали Харди и Литлвуд. Они понимали, что такой подход не является строгим, поскольку простые числа определяются достаточно специфически и распределены на самом деле не случайно. Тем не менее разумно ожидать, что реальные результаты не войдут в противоречие с этой вероятностной моделью, поскольку определяющее свойство простых чисел, судя по всему, очень слабо связано с тем, что происходит при сложении двух таких чисел.

Несколько стандартных методов в этой области математики используют примерно такой же подход, но стараются дополнительными средствами сделать свою аргументацию как можно более строгой. В качестве примера можно привести различные варианты решета, построенные на базе решета Эратосфена. Общие теоремы о плотности чисел в сумме двух множеств и возникающие в ней при очень больших множествах пропорции также оказываются весьма полезными инструментами.

В случаях, когда математическая гипотеза в конце концов находит подтверждение, ее история часто развивается по стандартному шаблону. На протяжении некоторого времени разные люди доказывают верность этой гипотезы при каких-либо ограничениях. Каждый такой результат улучшает предыдущий и снимает часть ограничений, но со временем этот путь исчерпывает свои возможности. Наконец появляется новая остроумная идея — и завершает доказательство.

К примеру, гипотеза в теории чисел может утверждать, что каждое положительное целое число может быть представлено каким-то определенным образом с использованием, скажем, шести специфических чисел (простых, квадратов, кубов, каких угодно еще). Здесь ключевыми моментами являются каждое положительное целое и шесть специфических чисел. Первые попытки подступиться к этой проблеме дают слабые результаты, но постепенно, посредством небольших шажков, они улучшаются.

Первым шагом часто является доказательство какого-нибудь утверждения вроде, например, такого: каждое положительное целое число, которое не делится на 3 и 11, за исключением некоторого конечного их количества, может быть представлено через некое гигантское количество — скажем, 10⁶⁶⁶ — чисел оговоренного вида. Как правило, такая теорема умалчивает о том, сколько и каких существует исключений, так что результат невозможно приложить непосредственно к любому заданному целому числу. Следующий шаг состоит в том, чтобы обозначить границы эффективности, т. е. доказать, что каждое целое число больше 10¹⁰⁴² может быть представлено таким образом. Затем снимается ограничение по делимости на 3, а немного позже и на 11. После этого авторы один за другим начинают снимать ограничения: одни уменьшают число 10⁶⁶⁶, другие 10¹⁰⁴², третьи — то и другое одновременно. Типичным улучшением может быть, к примеру, такое: каждое целое число больше 5,8 × 10¹⁷ может быть представлено с использованием не более 4298 чисел оговоренного вида.